Программы итоговых экзаменов 10 (стр. 14 из 15)

где

– значение приближенного решения в точке

– в точке n=0,1,…, N-1; Nt = T; N>1, N- целое.

Если исключить из соотношения (1.2)

, получим так называемую схему в целых шагах:

Отсюда следует, что

и, значит, совпадает с точным решением задачи (1.1) в точках

Схему (1.2) можно трактовать следующим образом: на первом дробном шаге решается уравнение

на втором – уравнение В целом же решается задача Коши

(1.3)

где

n=0,1,…, N-1.

Ниже на рис. 1.1 показаны сравнительные графики функций

и решений задач (1.1), (1.3) соответственно.

Рис. 1.1. Графики функций

и решений

Легко заметить, что функции

аппроксимируют функцию в том смысле, что при любых из [0,T]

при

В то же время,

то есть имеет место равномерная сходимость к на отрезке [0,T].

Приложение 11

Образец оформления текста работы

1.3 Теорема Арцела

Лемма 1.1 (Неравенство Гронуолла). Пусть неотрицательная, измеримая и ограниченная на отрезке [0,

] функция c(t) удовлетворяет неравенству

где постоянные A, B, C ≥ 0. Тогда, если B > 0, то при 0 ≤ t ≤

имеет место оценка

(1.10)

Если B = 0, то c(t) ≤ С+At.

Доказательство неравенства (1.10) в основном повторяет доказательство леммы 1 гл. I в [20].

Определение 1.1. Говорят, что функции множества M равномерно ограничены в С(

), если существует постоянная K, такая, что || f || ≤ K для всех f

M.

Определение 1.2. Говорят, что функции множества M равностепенно непрерывны в

, если для любого e > 0 существует d =d(e) >0, такое, что для любых , , удовлетворяющих неравенству | – | < d, имеет место неравенство | f( ) – f( ) | < e, выполняющееся сразу для всех f

M.

Теорема 1.1 (Арцела). Для того чтобы множество M

С( ) было компактно в С( ), необходимо и достаточно, чтобы функции из M были равномерно ограничены в С( ) и равностепенно непрерывны в .

Доказательство. Пусть множество M компактно в С(

). Докажем, что функции из M равномерно ограничены в С( ) и равностепенно непрерывны в .

Приложение 12

Образец заключения

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В дипломной работе получены следующие результаты:

1. на основе условий переопределения заданная обратная задача была приведена к прямой вспомогательной задаче Коши;

2. доказана однозначная разрешимость прямой задачи в предположении достаточно гладких входных данных;

3. выписано решение исходной обратной задачи в явном виде через решение прямой задачи;

4. доказана теорема существования и единственности классического решения обратной задачи.

Полученные результаты имеют теоретическое значение и могут быть использованы при построении общей теории обратных задач.

Приложение 13

Образец приложения

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Таблица 1 - Относительные погрешности численных решений при

Тест	Максимальная относительная погрешность %	Максимальная относительная погрешность %	Максимальная относительная погрешность %
N1	0,004	0,004	0,09
N2	0,02	0,1	0,14
N3	0,002	0,1	0,35
N4	0,012	0,03	0,32
N5	0,004	0,004	0,09
N6	0,02	0,1	0,14
N7	0,002	0,1	0,35
N8	0,012	0,03	0,32
N9	0,004	0,004	0,09
N10	0,02	0,1	0,14
N11	0,002	0,1	0,35
N12	0,012	0,03	0,32
N13	0,012	0,03	0,32
N14	0,004	0,004	0,09
N15	0,02	0,1	0,14
N16	0,002	0,1	0,35
N17	0,012	0,03	0,32