Элективный курс «Решение задач с параметрами» (стр. 3 из 7)

При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.

Особым значением параметра а является значение а = 0.

1. Если а ≠ 0 , то при любой паре параметров а и b оно имеет единственное решение х =

.

2. Если а = 0, то уравнение принимает вид: 0 х = b. В этом случае значение b = 0 является особым значением параметра b.

2.1. При b ≠ 0 уравнение решений не имеет.

2.2. При b = 0 уравнение примет вид: 0 х = 0. Решением данного уравнения является любое действительное число.

Пример. Решить уравнение

2а(а — 2) х = а — 2. (1)

Решение. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются а=0 и а=2. При этих значениях а невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х. В то же время при значениях параметра а≠0, а≠2 это деление возможно. Таким образом, целесообразно множество всех действительных значений параметра разбить на подмножества

A₁={0}, А₂={2} и А₃= {а≠0, а≠2}

и решить уравнение (1) на каждом из этих подмножеств, т. е. решить уравнение (1) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра:

1) а=0 ; 2) а=2 ; 3) а≠0, а≠2.

Рассмотрим эти случаи.

1) При а=0 уравнение (1) принимает вид 0 х = - 2. Это уравнение не имеет корней.

2) При а=2 уравнение (1) принимает вид 0 х=0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.

3) При а≠0, а≠2 из уравнения (1) получаем, х =

,

откуда х =

.

0твет: 1) Если а=0,то корней нет;

2)если а=2, то х – любое действительное число;

3) если а≠0, а≠2 , то х =

.

Пример. Решить уравнение

(а — 1) х²+2 (2а+1) х+(4а+3) =0; (2)

Решение. В данном случае контрольным является значение a=1. Дело в том, что при a=1 уравнение (2) является линейным, а при а≠ 1 оно квадратное (в этом и состоит качественное изменение уравнения). Значит, целесообразно рассмотреть уравнение (2) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра: 1) а = l; 2) а≠1.

Рассмотрим эти случаи.

1) При a=1 уравнение (2) примет вид 6х+7=0. Из этого

уравнения находим х = -

.

2) Из множества значений параметра а ≠ 1 выделим те значения, при которых дискриминант уравнения (2) обращается в 0.

Дело в том, что если дискриминант D=0 при а=а_о, то при переходе значения D через точку а_одискриминант может изменить знак (например, при а<а_оD< 0, а при а>а_оD>0). Вместе с этим при переходе через точку а_о меняется и число действительных корней квадратного уравнения (в нашем примере при а<а_окорней нет, так как D< 0, а при а>а_оD>0 уравнение имеет два корня). Значит, можно говорить о качественном изменении уравнения. Поэтому значения параметра, при которых обращается в 0 дискриминант квадратного уравнения, также относят к контрольным значениям.

Составим дискриминант уравнения (2):

=(2а+ l)² — (а — 1) (4а+3). После упрощений получаем = 5а+4.

Из уравнения

= 0 находим а = -

— второе контрольное значение параметра а. При

этом если а <-

, то D <0; если a≥-

, то D≥0, a ≠ 1.

Таким образом, осталось решить уравнение (2) в случае, когда а <-

и в случае, когда { a≥-

, a ≠ 1 }.

Если а <-

, то уравнение (2) не имеет действительных корней; если же

{ a≥-

, a ≠ 1 }, то находим

Ответ: 1) если а <-

, то корней нет;

2) если а = 1, то х = -

;

3) если a≥-

, a ≠ 1, то

.

Свойства квадратичной функции

в задачах с параметрами

При решении различных задач часто используются не только свойства квадратного уравнения, но и свойства квадратичной функции. Полезно дать учащимся таблицу, позволяющую составлять систему неравенств для нахождения решений задачи. Однако, на мой взгляд, для рационального подхода к поиску решения достаточно рассмотреть только расположение графиков при положительном старшем коэффициенте, но обратить внимание, что тогда неравенства составляются в виде

аf(A)< 0 или аf(A)> 0 (а- старший коэффициент).

Пример. При каких значениях параметра а один из корней уравнения

(а²-2)х²+(а²+а-1)х-а³+а=0

больше числа а, а другой меньше числа а?

Решение. Задача равносильна следующей: при каких значениях параметра а нули квадратичной функции

g(х)= (а²-2)х²+(а²+а-1)х-а³+а

лежат на вещественной оси по разные стороны от точки х = а?

Исходя из таблицы, имеем условие: аf(A)< 0.

В нашем случае это условие принимает вид

(а²-2) g(а)<0.

Следовательно, требованию задачи удовлетворяют решения неравенства

(а²-2)((а²-2)а²+(а²+а-1)а-а³+а)<0, где а²-2

0 (а = , а =- требованию задачи не удовлетворяют).

Решая полученное неравенство,

находим, что а

(-

; -1) (1; ).

Ответ: При а

(-

; -1) (1; ).

Пример. При каких значениях параметра

корни уравнения

(1)

больше 1?

Решение. Очевидно, что задача равносильна следующей: при каких значениях параметра

корни квадратного трехчлена

больше 1?

Переход от одной формулировки задачи к другой подчеркивает ту общую часто используемую при решении алгебраических уравнений второй степени идею, которая связана с описанием тех или иных свойств квадратного трехчлена и их геометрической интерпретации на графике. В частности, для того, чтобы корни квадратного трехчлена

(2)

были больше числа

, необходимо и достаточно выполнение условий

(3)

(см. рис. 1.1.)

Условия (3) равносильны условиям

где

- дискриминант, а - производная квадратного трехчлена. Требование же того, чтобы корни квадратного трехчлена были меньше числа , означает выполнение условий