Элективный курс «Решение задач с параметрами» (стр. 4 из 7)

Возвращаясь к исходной задаче, замечаем, что при

=0 уравнение (1) имеет корень

, который требованиям задачи не удовлетворяет.

Рассмотрим случай

. При таких

условия (3) запишутся в виде

Решая эту систему, находим, что

Очевидно, что этот же результат мы получили бы и решая неравенство

, где

- меньший корень уравнения (1)

Ответ:

Рациональные неравенства с параметрами

Пример. Найти все значения параметра

, при которых неравенство

выполняется при всех

Решение. Исходное неравенство является однородным неравенством второй степени относительно функции

. Если разделить его на

, то получится равносильное неравенство

которое после замены

становится квадратным неравенством относительно переменной

с параметром

(*)

Найдем множество значений функции

при

. Имеем:

, то есть

Отсюда

при

; другие значения

(отличные от нуля) найдем из условия неотрицательности дискриминанта этого квадратного уравнения:

, то есть

Итак, исходное неравенство выполняется для всех

тогда и только тогда, когда неравенство (*) выполняется для всех

Рассмотрим квадратный трехчлен

с абсциссой вершины

и дискриминантом

. Тогда имеем следующие необходимые и достаточные условия для нахождения искомых значений параметра

Последовательно преобразуя, получаем:

Объединяя решения систем (1)-(3), получаем ответ.

Ответ:

Иррациональные уравнения с параметрами

Существует несколько способов решения иррациональных уравнений с параметрами. Познакомимся с ними, разобрав следующий пример.

Пример. В зависимости от значений параметра

решить уравнение

(1)

Решение. Решим уравнение (1) пятью способами, которые необходимо знать, ибо наряду с другими подходами они могут быть использованы и при решении иных типов уравнений.

Способ 1. Уравнение (1) равносильно системе

или системе

(2)

Решая уравнение из системы (2), находим

(3)

откуда следует, что при

уравнение (1) имеет одно решение

. Если

, то

, и тогда уравнение (1) будет иметь два решения при тех значениях параметра

, при которых совместна система

т.е. при

Уравнение (1) будет иметь только один корень

, если

, а

. В этом случае решая систему

приходим к выводу, что

Замечая теперь, что при

дискриминант уравнения системы (2) отрицателен, получаем

Ответ: если

, то решений нет;

если

, то

;

если

, то

;

если

, то

Способ 2. Возведя обе части уравнения (1) в квадрат, получим уравнение из системы (2), корни которого задаются формулами (3). Но здесь надо иметь в виду, что при возведении обеих частей уравнения (1) в квадрат могли появиться посторонние корни.

Поэтому при данном способе решения необходимо произвести проверку. Так, подставляя корень

в исходное уравнение, придем к соотношению

откуда

Если же подставить корень

в уравнение (1), то придем уже к отношению

, и, таким образом,

Учитывая теперь, что при

корней нет, а при

имеем

, получаем тот же ответ, что и при первом способе решения.