Элективный курс «Решение задач с параметрами» (стр. 6 из 7)

откуда следует, что

Если

лежит строго между и , то либо , либо должно быть положительно:

Если

лежит правее интервала , то есть , то значения и должны быть разных знаков, причем - положительно:

Объединяя найденные значения параметра

в рассмотренных трех случаях , получает ответ: .

II – й способ.

Как мы уже получили ранее, в точках экстремума, то есть при

имеем . В плоскости нарисуем график функции . Точки экстремума будем искать на интервале , то есть при что соответствует внутренним точкам острого угла, ограниченного прямыми и , и находящегося в первой четверти. Найдем точки пересечения прямых и с параболой . Решая квадратные уравнения, получаем:

Так как производная

при и при , то исходная функция является возрастающей в области , расположенной ниже параболы , и убывающей в области, расположенной выше этой параболы; в точках параболы функция имеет экстремум (в силу того, что выполнено достаточное условие экстремума – смена знака производной).

Левая ветвь параболы

пересекается с прямыми и в точках и соответственно. Все точки параболы, расположенные строго между этими точками пересечения, отвечают точкам экстремума функции , соответствующим искомым значениям параметра : (проекция на ось указанного участка левой ветви параболы ).

Правая ветвь параболы

пересекается с прямыми и в точках и соответственно. Все точки параболы, расположенные строго между этими точками пересечения, отвечают точкам экстремума функции , соответствующим искомым значениям параметра : (проекция на ось указанного участка правой ветви параболы ).

Объединяя найденные выше интервалы

и значений параметра , получаем ответ.

Ответ:

.

Заключение

Введение элективного курса «Решение задач с параметрами» необходимо учащимся в наше время как при подготовке к ЕГЭ, так и к вступительным экзаменам в ВУЗы. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики.

Даже если бы эти задачи не предлагались на выпускных и вступительных экзаменах, то все равно в школьной математике задачам с параметрами должно уделяться большое внимание. В этом автор данного реферата глубоко убеждена: ведь известно, какую роль играют данные задачи в формировании логического мышления и математической культуры у школьников. Поэтому учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются (и опыт это подтверждает) с другими задачами. Решение задач, уравнений с параметрами открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале.

При решении задач с параметрами одновременно активно реализуются основные методические принципы:

принцип параллельности – следует постоянно держать в поле зрения несколько тем, постепенно продвигаясь по ним вперед и вглубь;

принцип вариативности – рассматриваются различные приемы и методы решения с различных точек зрения: стандартность и оригинальность, объем вычислительной и исследовательской работы;

принцип самоконтроля – невозможность подстроиться под ответ вынуждает делать регулярный и систематический анализ своих ошибок и неудач;

принцип регулярности – увлеченные математикой дети с удовольствием дома индивидуально исследуют задачи, т. е. занятия математикой становятся регулярными, а не от случая к случаю на уроках.

Разработанный элективный курс может быть использован учителями математики при подготовке к ЕГЭ, вступительным экзаменам в ВУЗы, на занятиях математического кружка. В нем систематизирован теоретический и дидактический материал, отвечающий принципу последовательного нарастания сложности.

Библиографический список.

1. Амелькин. В. В., Рабцевич В. Л. Задачи с параметрами. Справочное пособие по математике. – 2-е изд. - Мн. ООО «Асар», 2002. – 464 с.; ил.

2. Галицкий М. Л. и др. Сборник задач по алгебре для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики. – 4-е изд. – Просвещение, 1997. – 271 с.; ил.

3. Горнштейн П. И., Полонский В. Б., Якир М. С. Задачи с параметрами. – 3-е изд. – М.; Илекса, Харьков: Гимназия, 1998, - 336 с.