«средняя общеобразовательная школа №20» по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе (стр. 6 из 7)
Но глава V. «Задачи на повторение» содержит п.13 «Тригонометрические уравнения и неравенства». Проведу классификацию уравнений, предлагаемых здесь.
2.5 Задачи на повторение
Сведение к:
а) простейшим уравнениям: №153(б, в, г), 156(б), 157(а).
б) квадратным: №152(а, в), 154(а, б, г), 156(в), 157(в, г).
в) уравнениям, решаемым разложением на множители: №153(а), 154(б, в, г), 155, 156(а, г), 157(б, г).
г) однородным: №152(б, г), 153(а), 157(б).
Замечу, что к ряду уравнений применим не один метод, а несколько. Например, решая уравнение из №153(а), сначала идёт разложение на множители, а затем одно из полученных уравнений решается как однородное.
№154(б): на множители – как квадратное.
№154(г): на множители – как квадратное.
№157(б): на множители – как однородное.
№157(г): на множители – как квадратное.
№157(б).
tg х – sin x = 2sin2, ОДЗ: х ≠ 
+ πm, m Î Z.
– sin x = 1 – cos x,
sin x – sin x × cos x = cos x – cos2 x,
(sin x – cos x) – cos x × (sin x – cos x) = 0,
(sin x – cos x) × (1 – cos x) = 0,
sin x – cos x = 0 или 1 – cos x = 0,
tg х – 1 = 0 cos x = 1,
tg х = 1 xk = 2πk, k Î Z.
хn = 
+ πn, n Î Z.
Ответ: хn = + πn, n Î Z, xk = 2πk, k Î Z.
3. Тригонометрические уравнения на экзаменах
3.1 Специфика выпускного экзамена за курс средней полной школы
Письменный экзамен по алгебре и началам анализа является обязательным для всех выпускников. Он проходит в форме контрольной работы, содержащей 10 заданий. Экзаменационная работа по курсу «Алгебра и начала анализа» проводится по «Сборнику заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике и алгебре и началам анализа за курс средней школы» (Авторы: Дорофеев Г. В., Муравин Г. К., Седова Е. А.) и состоит из трёх частей.
Первая часть экзамена (задания 1 – 5) включает пять заданий, которые помещены в разделе 1. Всего в сборнике 96 таких выборов. Уровень сложности этих заданий определяется «Требованиями к математической подготовке учащихся», предусмотренными программой.
Вторую часть экзамена составляют задания, помещённые в разделах 4 (задания 6, 7) и 5 (задание 8) сборника. Это традиционные задания, предлагаемые на экзамене.
Третья часть экзамена (задания 9, 10) состоит из заданий, подобных тем, которые используются на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения. Они находятся в разделе 6 сборника. Решение этих задач не требует ни дополнительных навыков, ни дополнительных идей по сравнению с задачами, обычно предлагающимися в школьных учебниках.
3.2 Тригонометрические уравнения на выпускном экзамене
3.2.1 Тригонометрические уравнения на обязательном уровне обучения
Анализируя задания, предлагаемые на экзамене, я заметила, что тригонометрические уравнения предлагаются в 74 из 96 наборов первой части. Они указаны в №3.
По типу это уравнения различные: приводятся к простейшим, решаются разложением на множители, неполные квадратные тригонометрические уравнения. Много уравнений таких, где необходимо применить формулы приведения. Но и предлагаются такие уравнения, когда нужно не просто их решить, а изо всех корней отобрать те, которые принадлежат указанному промежутку. Кстати, таких уравнений в школьном курсе нет.
Приведу пример решения такого упражнения.
Вариант 7, №3.
Найдите все решения уравнения (sin x + cos x)2 = 1 + sin x cos x, принадлежащие отрезку [0; 2π].
Используем формулу сокращённого умножения.
sin2 x + 2sin x cos x + cos2 x = 1 + sin x cos x,
1 + 2sin x cos x – 1 – sin x cos x = 0,
sin x cos x = 0,
sin x = 0 или cos x = 0,
хn = πn, n Î Z xk = 
Теперь произведём отбор корней, принадлежащих указанному промежутку. существует несколько способов.
I способ (непосредственная подстановка целых значений в общую формулу корней):
1) хn = πn, n Î Z
n = 0, х = 0 Î [0; 2π];
n = 1, х = π Î [0; 2π];
n = 2, х = 2π Î [0; 2π];
n = 3, х = 3π Ï [0; 2π];
n = – 1, х = – π Ï [0; 2π].
2) xk = 
k = 0, х = Î [0; 2π];
k = 1, х = 
Î [0; 2π];
k = 2, х = 
Ï [0; 2π];
k = – 1, х = – Ï [0; 2π].
Ответ: 0; ; π; 
; 2π.
II способ (решение двойного неравенства для определения целых значений):
1) 0 £ π n £ 2π,
0 £ n £ 2.
Значит, находим корни уравнения при n = 0; 1; 2. (Я их нашла в I способе).
2) 0 £ 
£ 2π,
– £ πk £ ,
– £ k £ .
Итак, k = 0; 1. Корни, соответствующие этим значениям k, я нашла выше.
III способ. Здесь используются графики тригонометрических функций или единичную окружность; для этого находить общую серию решений в данном случае совсем необязательно. Но необходимо помнить, что: sin α = у; сos α = х.
1) sin x = 0.
2) cos x = 0.3.2.2 Тригонометрические уравнения из раздела 4
Раздел 4 сборника состоит из нескольких пунктов, одним из которых является «Тригонометрия». Этот пункт включает в себя как преобразование тригонометрических выражений, так и решение уравнений. Среди предложенных уравнений 12 номеров включают отбор корней в соответствии указанному промежутку.
1) Уравнения, решаемые как квадратные относительно одной тригонометрической функции: №4.13; 4.14; 4.15; 4.16; 4.17; 4.18; 4.19; 4.20; 4.21; 4.22; 4.23; 4.24; 4.25; 4.26. Но не каждое из указанных уравнений сразу сводится к решению квадратных. Для решения некоторых из них нужно применить сначала формулы тригонометрии: основное тригонометрическое тождество, формулы понижения степени.
2) Уравнения, решаемые разложением на множители: №4.27; 4.28; 4.29; 4.30; 4.31; 4.32; 4.33; 4.34.
3) Однородные тригонометрические уравнения и уравнения, сводящиеся к ним: №4.35; 4.36; 4.37; 4.38.
4) Уравнения, решаемые с использованием основного свойства пропорции: №4.39; 4.40; 4.41; 4.42.
Хочется заметить, что решая эти уравнения, мы в итоге приходим к решению однородных уравнений первой степени. Приведу пример решения такого уравнения.
№4.41.
Найдите все решения уравнения , принадлежащие отрезку [– π; π].
Применив основное свойство пропорции, получим:
3(2sin х – сos x) = 1(5sin х – 4сos x),
6sin х – 3сos x – 5sin х + 4сos x = 0,
sin х + сos x = 0. Разделим это уравнение на сos x.
tg x + 1 = 0,
tg x = – 1,
х = – + πn, n Î Z.
Решения этого уравнения, принадлежащие указанному промежутку, найду с помощью тригонометрического круга:
 |
Ответ: ; 
.
3.2.3 Тригонометрические уравнения повышенной сложности
I. Раздел 5:
1) №5.1; 5.2; 5.3; 5.4; 5.9; 5.11 – уравнения, решаемые как квадратные относительно одной из тригонометрических функций, с применение формул понижения степени.
2) №5.10; 5.12 – уравнения, решаемые разложением на множители с применением формул тригонометрии.
3) №5.13; 5.14 – однородные уравнения 2-ой степени.
4) №5.5; 5.6; 5.7; 5.8 – уравнения, решаемые с применением свойства ограниченности тригонометрических функций. Примечательно то, что таких уравнений в школьном курсе алгебры не предлагается вообще.