«Многогранники» (стр. 1 из 3)
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ
СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №3
РЕФЕРАТ
по геометрии
Тема:
«Многогранники».
Выполнила: ученица 11-«б» класса
МОУ СОШ №3
Алябьева Юлия.
Проверила: преподаватель математики
Сергеева Любовь Алексеевна.
г. Железноводск
2003 г.
План
I. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II. Теоретическая часть
1. Двугранный угол . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. Трехгранный и многогранный углы . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3. Многогранник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4. Призма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5. Изображение призмы и построение ее сечений . . . . . 7
6. Прямая призма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
7. Параллелепипед . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
8. Центральная симметрия параллелепипеда . . . . . . . . 10
9. Прямоугольный параллелепипед. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
10. Симметрия прямоугольного параллелепипеда . . . . 12
11. Пирамида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
12. Построение пирамиды и ее плоских сечений. . . . . . 13
13. Усеченная пирамида. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
14. Правильная пирамида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
15. Правильные многогранники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
III. Практическая часть . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
IV. Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
V. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
I. Введение
Есть в школьной геометрии особые темы, которые ждешь с нетерпением, предвкушая встречу с невероятно красивым материалом. К таким темам можно отнести "Многогранники". Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные гипотезы. И тогда урок геометрии становится своеобразным исследованием неожиданных сторон привычного школьного предмета.
Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как многогранники. "Многогранников вызывающе мало, - написал когда-то Л. Кэролл, - но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук".
II. Теоретическая часть.
1. Двугранный угол
Двугранным углом называется фигура, образованная двумя "полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой (рис. 1). Полуплоскости называются гранями, а ограничивающая их прямая — ребром двугранного угла.Плоскость, перпендикулярная ребру двугранного угла, пересекает его грани по двум полупрямым. Угол, образованный этими полупрямыми, называется линейным. углом двугранного угла.
За меру двугранного угла принимается мера соответствующего ему линейного угла. Все линейные углы двугранного угла совмещаются параллельным переносом, а значит, равны. Поэтому мера двугранного угла не зависит от выбора линейного угла.
2. Трехгранный и многогранный углы
Рассмотрим три луча а, Ь, с, исходящие из одной точки и не лежащие в одной плоскости. Трехгранным углом (abc) называется фигура, составленная "из трех плоских углов (аЬ), (Ьс) и (ас) (рис. 2). Эти углы называются гранями трехгранного угла, а их стороны — ребрами, общая вершина плоских углов называется вершиной трехгранного угла. Двугранные углы, образованные гранями трехгранного угла, называются двугранными углами трехгранного угла.
Аналогично определяется понятие многогранного угла (рис. 3).
3. Многогранник
В стереометрии изучаются фигуры в пространстве, называемые телами. Наглядно (геометрическое) тело надо представлять себе как часть пространства, занятую физическим телом и ограниченную поверхностью.Многогранник — это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников (рис. 4). Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности выпуклого многогранника называется гранью. Грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины — вершинами многогранника.
Поясним сказанное на примере знакомого вам куба (рис. 5). Куб есть выпуклый многогранник. Его поверхность состоит из шести квадратов: ABCD, BEFC, .... Они являются его гранями. Ребрами куба являются стороны этих квадратов: АВ, ВС, BE,... . Вершинами куба являются вершины квадратов: А, В, С, D, Е, .... У куба шесть граней, двенадцать ребер и восемь вершин.Простейшим многогранникам — призмам и пирамидам, которые будут основным объектом нашего изучения,— мы дадим такие определения, которые, по существу, не используют понятие тела. Они будут определены как геометрические фигуры с указанием всех принадлежащих им точек пространства. Понятие геометрического тела и его поверхности в общем случае будет дано позже.
4. Призма
Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников (рис. 6). Многоугольники называются основаниями призмы, а отрезки, соединяющие соответствующие вершины,— боковыми ребрами призмы.
Так как параллельный перенос есть движение, то основания призмы равны.
Так как при параллельном переносе плоскость переходит в параллельную плоскость (или в себя), то у призмы основания лежат в параллельных плоскостях.Так как при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние, то у призмы боковые ребра параллельны и равны.
Поверхность призмы состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из параллелограммов. У каждого из этих параллелограммов две стороны являются соответствующими сторонами оснований, а две другие — соседними боковыми ребрами.
Высотой призмы называется расстояние между плоскостями её оснований. Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, называется диагональю призмы.
Призма называется n-угольной, если ее основания — n-угольники.
В дальнейшем мы будем рассматривать только призмы, у которых основания — выпуклые многоугольники. Такие призмы являются выпуклыми многогранниками.
На рисунке 6 изображена пятиугольная призма. У нее основаниями являются пятиугольники А1А2...А5, А1’А'2...А'5. XX' — отрезок, соединяющий соответствующие точки оснований. Боковые ребра призмы—отрезки А1А'2, А1А'2, ..., А5А'5. Боковые грани призмы — параллелограммы А1А2А'2А1 , А2А3А’3А'2, ... .
5. Изображение призмы и построение ее сечений
В соответствии с правилами параллельного проектирования изображение призмы строится следующим образом. Сначала строится одно из оснований Р (рис. 7). Это будет некоторый плоский многоугольник. Затем из вершин многоугольника Р проводятся боковые ребра призмы в виде параллельных отрезков равной длины. Концы этих отрезков соединяются, и получается другое основание призмы. Невидимые ребра проводятся штриховыми линиями. 
Сечения призмы плоскостями, параллельными боковым ребрам, являются параллелограммами. В частности, параллелограммами являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани (рис. 8).На практике, в частности, при решении задач часто приходится строить сечение призмы плоскостью, проходящей через заданную прямую g на плоскости одного из оснований призмы. Такая прямая называется следом секущей плоскости на плоскости основания. Для построения сечения призмы достаточно построить отрезки пересечения секущей плоскости с гранями призмы. Покажем, как строится такое сечение, если известна какая-нибудь точка А на поверхности призмы, принадлежащая сечению (рис. 9).
Если данная точка А принадлежит другому основанию призмы, то его пересечение с секущей плоскостью представляет собой отрезок ВС, параллельный следу g и содержащий данную точку А (рис. 9, а).
Если данная точка А принадлежит боковой грани, то пересечение этой грани с секущей плоскостью строится, как показано на рисунке 9,б. Именно: сначала строится точка D, в которой плоскость грани пересекает заданный след g. Затем проводится прямая через точки А и D. Отрезок ВС прямой AD на рассматриваемой грани и есть пересечение этой грани с секущей плоскостью. Если грань, содержащая точку А, параллельна следу g, то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку ВС, проходящему через точку А и параллельному прямой g.