Применение подобия к доказательству теорем и решению задач (Обобщение теоремы Фалеса. Теоремы Чевы и Менелая.) (стр. 1 из 2)
Применение подобия к доказательству теорем и решению задач (Обобщение теоремы Фалеса. Теоремы Чевы и Менелая.)
Содержание:
1. Введение;
2. Обобщение теоремы Фалеса;
(a) Формулировка;
(b) Доказательство;
3. Теорема о пропорциональных отрезках;
4. Теорема Чевы;
(a) Формулировка;
(b) Доказательство;
5. Теорема Менелая;
(a) Формулировка;
(b) Доказательство;
6. Задачи и их решения;
7. Источники информации;
8. Вывод.
Введение.
Мой реферат посвящен применению подобия к доказательству теорем и решению задач, а именно глубоко изучить обобщение теоремы Фалеса, теоремы Чевы и Менелая, которые не изучаются в школьной программе. Теме подобия, которая проходится в восьмом классе, отведено всего лишь 19 часов, что недостаточно для изучения этой темы более углубленно. В тему подобия входят: определение подобных треугольников, признаки подобия, отношение площадей подобных треугольников, средняя линия треугольника, пропорциональные отрезки и т.д.
Напомню определение подобных треугольников:
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. Оказывается, что у подобных треугольников не только отношение сходственных сторон, но и отношение любых других сходственных отрезков равно коэффициенту подобия. Например, отношение сходственных биссектрис AD и A1D1, т.е. биссектрис равных углов A и A1в подобных треугольниках ABC и A1B1C1, равно коэффициенту подобия k, отношение сходственных медиан AM и A1M1 равно k и точно так же отношение сходственных высот AH и A1H1 равно k.
С помощью данного материала, который изучается в школьной программе, мы можем решать довольно узкий круг задач. При создании своего реферата я собираюсь углубить свои знания по данной теме, что позволит решать более широкий круг задач на пропорциональные отрезки. В этом и заключается актуальность моего реферата.
Одна из теорем – это обобщение теоремы Фалеса. Сама теорема Фалеса проходится в восьмом классе. Но главными теоремами являются теоремы Чевы и Менелая.
Обобщение теоремы Фалеса.
Формулировка:
Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекают на этих прямых пропорциональные отрезки.
Доказать:
=…= 
.
Доказательство:
Докажем, например, что
Рассмотрим два случая:
1 случай
Прямые a и b параллельны. Тогда четырехугольники А1А2В2В1 и А2А3В3В2 – параллелограммы. Поэтому А1А2=В1В2 и А2А3=В2В3, откуда следует, что
2 случай
Прямые a и b не параллельны. Через точку А1 проведем прямую с, параллельную прямой b. Она пересечет прямые А2В2 и А3В3 в некоторых точках С2 и С3. Треугольники А1А2С2 и А1А3С3подобны по двум углам (угол А1 – общий, углы А1А2С2 и А1А3С3 равны как соответственные при параллельных прямых А2В2 и А3В3 секущей А2А3), поэтому
Отсюда по свойству пропорций получаем:
(1)С другой стороны, по доказанному в первом случае имеем А1С2=В1В2, С2С3=В2В3. Заменяя в пропорции (1) А1С2 на В1В2 и С2С3 на В2В3, приходим к равенству
(2) что и требовалось доказать.
Теорема о пропорциональных отрезках в треугольнике.
На сторонах АС и ВС треугольника АВС отмечены точки К и М так, что АК:КС=m:n, BM:MC=p:q. Отрезки АМ и ВК пересекаются в точке О.
Доказать:
Доказательство:
Через точку М проведем прямую, параллельную ВК. Она пересекает сторону АС в точке D, и согласно обобщению теоремы Фалеса
Пусть АК=mx. Тогда в соответствии с условием задачи КС=nx, а так как KD:DC=p:q, то
Снова воспользуемся обобщением теоремы Фалеса: 
Аналогично доказывается, что
. Теорема Чевы.
Теорема названа в честь итальянского математика Джованни Чевы, который доказал её в 1678 году.
Формулировка:
Если на сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС взяты соответственно точки С1, А1 и В1, то отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
(3)Доказать:
1.
(3)2.отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке
Доказательство:
1. Пусть отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке О. Докажем, что выполнено равенство (3). По теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике имеем:
и 
.Левые части этих равенств одинаковы, значит, равны и правые части. Приравнивая их, получаем
.Разделив обе части на правую часть, приходим к равенству (3).
2. Докажем обратное утверждение. Пусть точки С1, А1 и В1 взяты на сторонах АВ, ВС и СА так, что выполнено равенство (3). Докажем, что отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке. Обозначим буквой О точку пересечения отрезков АА1 и ВВ1 и проведем прямую СО. Она пересекает сторону АВ в некоторой точке, которую обозначим С2. Так как отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке, то по доказанному в первом пункте
. (4)Итак, имеют место равенства (3) и (4).
Сопоставляя их, приходим к равенству
= 
, которое показывает, что точки C1 и C2 делят сторону AB в одном и том же отношении. Следовательно, точки C1 и C2 совпадают, и, значит, отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке O. Теорема доказана.Теорема Менелая.
Формулировка:
Если на сторонах АВ и ВС и продолжении стороны АС (либо на продолжениях сторон АВ, ВС и АС) взяты соответственно точки С1, А1, В1, то эти точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда
(5)
Доказать:
1.
(5)2. точки А1,С1,В1 лежат на одной прямой
Доказательство:
1. Пусть точки А1,В1 и С1 лежат на одной прямой. Докажем, что выполнено равенство (5). Проведем AD,BE и CF параллельно прямой В1А1 (точка D лежит на прямой ВС). Согласно обобщению теоремы Фалеса имеем:
и 
Перемножая левые и правые части этих равенств, получаем
, откуда 
,т.е. выполнено равенство (5).
2. Докажем обратное утверждение. Пусть точка В1 взята на продолжении стороны АС, а точки С1 и А1 – на сторонах АВ и ВС, причем так, что выполнено равенство (5). Докажем, что точки А1,В1 и С1 лежат на одной прямой, то по доказанному а первом пункте
(6)Сопоставляя (5) и (6), приходим к равенству
= 
, которое показывает, что точки А1 и А2 делят сторону ВС в одном и том же отношении. Следовательно, точки А1 и А2 совпадают, и, значит, точки А1,В1 и С1 лежат на одной прямой. Аналогично доказывается обратное утверждение в случае, когда все три точки А1,В1 и С1 лежат на продолжениях соответствующих сторон. Теорема доказана.Решение задач.
Задача №1.