работа (стр. 3 из 5)

При наличии сопротивления корни либо действительные, либо комплексные, попарно сопряженные. Общее решение состоит из суммы двух колебаний с возрастающими или затухающими амплитудами.

В случае системы с сопротивлением происходит сдвиг фаз между колебаниями каждой из частот в обеих координатах.

Затухание в системе связанных осцилляторов может быть неодинаковым для разных мод, поскольку, например, конденсаторы “работают” для различных нормальных колебаний по-разному[6]. Наконец, небольшое затухание никак не может повлиять на фундаментальные свойства нормальных колебаний – соответствие между числом нормальных мод и количеством колебательных степеней свободы.

1.3. Связанные осцилляторы под действием гармонической силы.

Пусть на осцилляторы действует внешняя гармоническая сила с частотой p.

Тогда уравнения движения в общем случае:

. (12)

Общее решение системы - сумма однородного (собственные колебания) и частного (правые части системы ненулевые) решений [1].

Решение ищем в виде:

Подставляя эти выражения в (12), получим:

. (13)

Детерминант системы

Если ∆=0, то в системе установятся свободные колебания, рассматривались ранее и также были определены для них нормальные частоты. Если ∆≠0, то для всех p система (13) имеет решение, причем однородные уравнения не имеют решения.

Решение уравнений системы (13):

Резонансные кривые, изображенные на рис.4 позволяют сделать следующие выводы.

1. Пусть сила действует на первую парциальную систему, т.е.

, тогда возможно совпадение частоты внешней силы и парциальной частоты второго осциллятора - динамическое демпфирование [2], первый осциллятор не колеблется:

2. Резонанс наступает при совпадении частоты внешней силы с одной из собственных частот системы, происходит неограниченный рост амплитуд в обоих осцилляторах.

3. при частоте внешней силы

второй осциллятор не колеблется, это возможно, если связь носит смешанный характер.

Пусть сила действует на второй осциллятор, т.е.

, тогда

Для линейных систем справедлива теорема взаимности [2]: если на второй осциллятор действует сила

, то движение первой координаты – такое же, как Рис.4

движение второй координаты, когда на первый осциллятор действует сила

Она справедлива для линейных систем с любым числом степеней свободы, в том числе и для сплошных сред.

В электродинамике, например, теорема взаимности применяется в теории антенн.

2. Колебания системы со многими степенями свободы

2.1. Колебания системы N связанных осцилляторов

Рассмотрим систему n связанных осцилляторов.

Для этого воспользуемся уравнением Лагранжа [4]:

где каждому значению p соответствует одно из уравнений движения

Подставим в него значения кинетической и потенциальной энергий, которые определяются формулами:

. (14)

Где

- симметрические матрицы,

- обобщенные координаты. Кинетическая и потенциальная энергии положительны при колебания вблизи положения равновесия.

Подставляя (14) в уравнения Лагранжа, уравнения движения примут вид:

. (15)

Делая подстановку

, получаем систему алгебраических уравнений

, (16)

которая имеет ненулевые решения, если детерминант равен нулю:

. (17)

Корни уравнения (17) действительные или комплексные попарно сопряженные (

Если известны собственные значения, т.е. решение (16), то общее решение уравнений движения представляется в виде:

(18)

Положим

, и

, тогда (18) примет вид:

. (19)

Уравнение (19) содержит 2n постоянных

. Подстановка частного решения

позволяет получить две системы уравнений, откуда в свою очередь, общее решение (19) содержит 2n независимых постоянных:

. (20)

Согласно формулам (20), общее решение представлено n гармониками, входящими в каждую координату. При сложении эти гармоники не влияют друг на друга.

- коэффициенты распределения [4], матрица которых определяет распределение амплитуд отдельных гармоник во всех координатах.

Из уравнения (16) для z-го колебания

зная распределение амплитуд z-го колебания (элементы z-го столбца матрицы

), можно перейти к выражению для частоты:

(21)

Формула (21) позволяет установить зависимость частоты от условий задачи [2].

Если уравнение

имеет корень n-ой кратности, т.е. существует единственная частота, следует обращение в нуль всех элементов детерминанта и

Такое соотношение между кинетической и потенциальной энергиями выполняется, например, когда связи между координатами отсутствуют либо в системе присутствуют как инерционная, так и силовая связи. При наличии связей одного типа корней n-ой кратности в системе нет.

Таким образом, у системы с N степенями свободы имеется N мод. Каждой моде соответствует своя частота и своя фазовая постоянная, определяемая начальными условиями.

2.2. Колебательные цепи

Система связанных осцилляторов, в которой они упорядочены так, что каждый из осцилляторов связан только с двумя соседями (за исключением двух крайних), называется цепочкой осцилляторов [1].

На рис.5 изображены примеры колебательных цепей с силовой связью (а, б) и индукционной (в, г).

Колебательные цепи – в зависимости от их реакции на периодические возмущения на входе – называют фильтрами высоких и низких частот [4].

Фильтры низких частот (рис. 5а, 5б), через которые могут проходить только возмущения с частотами, лежащими ниже определенной граничной частоты. Фильтры высоких частот (рис. 5в, 5г) пропускают колебания, частота которых лежит выше . Рис. 5