При решении задач первого раздела знание планиметрии учащимся не понадобится, но будет нужна смекалка, геометрическое воображение, знание достаточно простых и общеизвестных геометрических сведений.
Задачами на разрезание с древнейших времен увлекались многие ученые. Решения многих простых задач на разрезание были найдены еще древними греками и китайцами, но первое систематизированное сочинение (трактат) на эту тему принадлежит перу знаменитого персидского астронома Х века Абул-Вефа, жившего в Багдаде. А всерьез геометры занялись решением задач на разрезание фигур на наименьшее число частей и последующее составление из них той или иной новой фигуры лишь в начале ХХ века. Одним из основоположников этого увлекательного раздела геометрии был знаменитый составитель головоломок Генри Э. Дьюдени. Особенно большое число существовавших ранее рекордов по разрезанию фигур побил эксперт австралийского патентного бюро Гарри Линдгрен. Он и является ведущим специалистом в области разрезания фигур.
В наши дни любители головоломок увлекаются решением задач на разрезание, прежде всего, потому, что универсального метода решения таких задач не существует, и каждый, кто берется за их решение, может в полной мере проявить свою смекалку, интуицию и способности к творческому мышлению. А поскольку здесь не требуется глубокого знания геометрии, то любители иногда могут даже превзойти профессионалов-математиков.
Вместе с тем задачи на разрезание не являются несерьезными или бесполезными, они не так уж и далеки от серьезных математических задач. Из задач на разрезание родилась, например, теорема Бойаи – Гервина о том, что любые два равновеликих многоугольника равносоставлены (обратное очевидно), а затем и третья проблема Гильберта: верно ли аналогичное утверждение для многогранников?
Задачи на разрезание помогают довольно рано сформировать у школьников геометрические представления. При решении таких задач у тех, кто имеет с ними дело, возникает ощущение красоты и порядка в природе.
При решении задач из второго раздела учащимся уже понадобится знание основных геометрических сведений о фигурах, их свойствах и признаках, а также знание некоторых теорем.
Тематическое планирование
| № п/п | Содержание | Кол – во часов | |
| Вводное занятие. | 1 | ||
| I. | Задачи на разрезание | 19 | |
| 1-4 | Задачи на клетчатой бумаге. | 4 | |
| 5-6 | Пентамино. | 2 | |
| 7-8 | Трудные задачи на разрезание. | 2 | |
| 9-11 | Разбиение плоскости. | 3 | |
| 12 | Танграм. | 1 | |
| 13-15 | Задачи на раскраску. | 3 | |
| 16-18 | Задачи с раскраской в условии. | 3 | |
| 19 | Итоговое занятие. | 1 | |
| II. | Решение задач | 14 | |
| 20 | «Измерительные инструменты всегда при тебе». | 1 | |
| 21 | Не отрывая карандаша… | 1 | |
| 22 | Задачи со спичками. | 1 | |
| 23 | Задачи на рисунках. | 1 | |
| 24-25 | Основные геометрические понятия. | 2 | |
| 26-27 | Построение углов. | 2 | |
| 28 | Упражнения с листом бумаги. | 1 | |
| 29 | Перпендикулярные прямые. Практические задания. | 1 | |
| 30-32 | Задачи на построение. | 3 | |
| 33-34 | Итоговое занятие. Игра «Геометрический лабиринт». | 2 | |
| Всего часов: | 34 | ||
Вводное занятие
1. Немного из истории.
2. Как строится изложение геометрии?
3. Решение простейших геометрических задач.
Цель: познакомить учащихся с историей возникновения геометрии и ролью Евклида в ее создании; привлечь внимание учащихся к важной фразе первого абзаца из учебного материала: «Чтобы успешно изучать школьный курс геометрии, надо понять, как строится его изложение».
1. Немного из истории.
Геометрия, как и другие науки, возникла из практических потребностей людей. В повседневной жизни человеку приходилось размышлять о форме окружающих его предметов, производить вычисления, связанные с измерением земельных участков, строительным делом, с нахождением объемов различных тел. Такими задачами в разные времена приходилось заниматься всем народам, населяющим землю, что и способствовало возникновению и накоплению геометрических знаний.
Так, имеются сведения о значительном развитии этих знаний в Египте более чем за 2 тысячи лет до начала нашей эры. Известно, что при разливе Нила вода смывала границы земельных участков, принадлежавших отдельным лицам. После спада воды эти границы приходилось восстанавливать, для чего нужны были знания об измерении земли.
Историк того далекого времени рассказывает: «Если Нил заливал чей-либо участок, то пострадавший обращался к царю и докладывал ему о случившемся. Тогда царь посылал землемеров (геометров): они измеряли, насколько уменьшился участок, и сообразно этому понижали налог».
Благодаря мореплаванию и торговле с Египтом греки не только усваивали знания египтян, но и продолжали их накапливать и обобщать. Не случайно поэтому «геометрия» в переводе с греческого означает «землемерие».
Греки сумели привести разрозненные геометрические сведения в систему и придать геометрии вид науки. Попытку создать такую науку в V в. до н.э. предпринимает греческий ученый Гиппократ, а позднее – Леон, но к этому времени накопленных геометрических знаний было еще мало. Поэтому труды названных ученых хотя и были шагом вперед в создании геометрической науки, но широкого распространения не получили.
Геометрия как наука о свойствах геометрических фигур наиболее удачно была изложена греческим ученым Евклидом (III в. до н.э.). В своих тринадцати книгах под общим названием «Начала» Евклид не только систематизировал тот материал, который был известен до него, но и дополнил его собственными изысканиями и открытиями.
Главная же заслуга Евклида состоит в том, что он показал способ изложения геометрического материала, которым пользуются при написании учебников по геометрии и теперь.
В течение долгих веков «Начала» были единственной учебной книгой, по которой изучалась геометрия. И не потому, что других книг по геометрии не было. Книги эти были. Но лучшими признавались «Начала» Евклида.
И в настоящее время школьные учебники на всех языках мира написаны под большим влиянием «Начал» Евклида.
Практическая деятельность людей ставила перед ними все новые и новые задачи, решение которых способствовало дальнейшему развитию и совершенствованию геометрических знаний, относящихся не только к измерению земли, но и к другим сферам деятельности. Геометрия и теперь обогащается новыми знаниями, необходимыми людям.
2. Как строится изложение геометрии
В построении геометрии есть некоторое сходство с игрой. Рассмотрим какую-нибудь известную игру, например, игру в футбол. Если смысл этой игры вы будете объяснять товарищу, который хочет научиться играть, то, выйдя с ним на поле, вы сначала покажете ему поле, назовете мяч, ворота, расскажете о роли участников игры, разделенных на две команды, то есть познакомите своего «ученика» со всеми составляющими элементами и предметами игры.
Сможет ли этот товарищ, усвоив вашу информацию, приступить к игре? Конечно, нет. Что же он должен усвоить еще?
Этот товарищ не сможет играть, потому что он не знает, как с этими предметами поступать, как строить отношения с играющими, по каким правилам играть. Значит, он должен усвоить правила игры. Какие же это правила? Перечислим их и запишем все сказанное в таблицу (левый столбец):
| Игра | Геометрия |
| Предметы игры: поле, мяч, ворота, участники игры (игроки). Правила игры: а) Игру ведут две команды; б) У каждой команды свои ворота; в) Игроки каждой команды ударами мяча ногой гонят мяч в ворота противника; г) Игрокам нельзя брать мяч рукой, им требуется соблюдать еще целый ряд других правил. | Основные понятия: точка, прямая, плоскость, расстояние от одной точки до другой. Правила действий с основными понятиями: а) Через любые две точки можно провести прямую и притом только одну; б) Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и все остальные точки этой прямой принадлежат этой плоскости; в) Какую бы прямую на плоскости мы ни взяли, имеются точки плоскости, не лежащие на ней. |
Только после усвоения правил товарищ, который хочет научиться играть, сможет начать игру.
3. Решение простейших геометрических задач.
Решим такую задачу: «Даны семь точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколько можно провести прямых, которым принадлежат две данные точки?».
Решение. По условию задачи никакие три точки не лежат на одной прямой. По аксиоме прямой через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Проведем прямую через какую-нибудь из данных точек и каждую из шести остальных. Таких прямых будет шесть. Если выполнить такое построение для каждой точки, то получим 7 · 6 = 42 прямые, но одна и та же прямая считалась здесь дважды, поэтому на самом деле число всех прямых будет (7· 6):2 = 21.
По поводу решенной задачи можно сказать следующее. Для семи данных точек еще возможно начертить и пересчитать прямые. Но если точек, удовлетворяющих условиям, будет 100, то провести прямые и сосчитать их число окажется практически невозможным. Лишь рассуждения, основанные на аксиомах и других верных утверждениях, приведут нас к правильному ответу.