2) Признаки делимости: 8.3.А09(а) – устно,
8.3.А10(а) – устно,
8.3.В02(а),
8.3.В06(а).
3) Деление с остатком: 8.3.А01(а),
8.3.А04(а),
8.3.А05(а).
4) Формула многозначного числа: 8.3.С06(а),
8.3.С08(а).
5)Задачи с геометрическим содержанием: 8.3.С02(а),
8.3.В10(а),
8.3.В03(а).
На дом: 8.3В04(а), 8.3В08(а),8.3.С01(а), 8.3.С04(а), 8.3.С09(а).
Замечание. На последующих уроках повторения рекомендуем рассмотреть задания 8.3.В07и 8.3.С10 (решение двойных неравенств).
Глава 9. Прогрессии
Девятую главу сборника составляют задачи на прогрессии.
Предполагается, что в результате изучения курса математики девятиклассники должны знать формулы n-ого числа арифметической и геометрической прогрессий и уметь находить сумму n первых членов обеих прогрессий.
Задачи данной главы, как и всех предыдущих глав, классифицированы по уровням сложности. Каждый уровень включает в себя пять заданий на арифметическую прогрессию и пять заданий на геометрическую.
Учитель может по своему усмотрению организовать повторение, включая задания разных уровней по одной прогрессии, а затем по другой, или рассматривать обе прогрессии одновременно, переходя от одного уровня сложности к другому.
В любом случае начать следует с повторения основных формул:
| Арифметическая прогрессия | Геометрическая прогрессия |
| an=a1+d(n-1) | bn=b1 qn-1 |
| Sn=(a1+an)n / 2, Sn= 2a1+d(n-1)n/ 2 | Sn=bnq-b1/q-1, Sn=b1(qn-1)/q-1, q≠1 S=b1/1-q, |q|<1 |
В заданиях уровня А проверяется умение пользоваться формулами.
Рассмотрим некоторые примеры.
9.1.А01.
а) Найдите разность арифметической прогрессии, первый член которой равен – 21, а двенадцатый равен 1.
Решение. Воспользуемся формулой n-го члена прогрессии.
an=a1+d(n-1),получим: a12=a1+11d, d=(a12-a1)/11, d=(1+21)/11=2.
Ответ: 2.
9.1.А03.
а) Найдите сумму первых восьми членов арифметической прогрессии, первый член которой равен -12, а второй равен -9.
Решение.
d=a2-a1, d=-9+12=3, S8=(2a1+7d)×n/2, S8=(-24+21)×8/2=-12.
Ответ: -12.
Несколько отличается задание 9.1.А05.
а) Сумма седьмого и двенадцатого членов арифметической прогрессии меньше суммы ее шестого и одиннадцатого членов на 8. Найдите разность прогрессии.
Решение.
Из условия получим (a6+a11)+(a12+a7)=8. Используя формулу an- го , выразим a6 , a7 , a11 и a12 через a1 и d, тогда полученное выражение будет иметь вид:
(a1+ 5d+ a1+10d) -- (a1+11d+a1+6d)=8,
(2a1+15d) – (2a1+17d)=8, 15d—17d=8, --2d=8, d= --4.
Ответ: --4.
9.1.А06.
а) Найдите девятый член геометрической прогрессии, если ее десятый член равен 12 , а одиннадцатый член равен 4.
Решение.
Воспользуемся формулой n-го члена , получим a11=a10q, q=a11/a10, q=4/12=1/3. Тогда a9=12: 1/3=36.
Ответ: 36.
9.1.А09.
а) Пятый член геометрической прогрессии в 5 раз больше ее первого члена. Во сколько раз тринадцатый член этой прогрессии больше ее пятого члена?
Решение.
Из условия имеем b5=5b1. Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии bn=b1qn-1.
B5=b1q4, тогда получим b5 /b1=q4=5. b13=q8, b13 /b5=q8, q8=25.
Ответ: в 25 раз.
Задания уровня В несколько сложнее. Например в заданиях 9.1.В02, 9.1.В03, 9.1.В05 требуется не только знание формул , но и умение составить и решить систему уравнений по заданному условию. Приведем примеры решений некоторых заданий этого уровня сложности.
9.1.В01.
а) Первый член арифметической прогрессии равен 1, а разность прогрессии равна 7. Какие из чисел 28, 55, 9150 являются членами этой прогрессии?
Решение.
an=a1+7(n-1)=a1+7n-7=6+7n, n=(an-6) / 7.
n1=(28-6): 7=3, n2=(55-6) / 7=7, n3=(9150-6) / 7=136,28... .
Таким образом число 28 – 3-й член прогрессии, 55—седьмой член, а 9150 не является членом данной прогрессии.
9.1.В04.
а) В арифметической прогрессии второй член равен 9, а разность равна 20. Найдите десятый член этой прогрессии и сумму первых десяти ее членов.
Решение.
Пусть a2=9, d=20, тогда S10= (a1+a10)×10 / 2= (a1+a10)×5.
a10=a1+9d=a2+8d, a10=9+8×20=169, a1=9-20= -11, S10=( -11+169)×5+790.
Ответ: 169; 790.
9.1.В07.
а) Существует ли геометрическая прогрессия, в которой восьмой член равен 12, а двенадцатый член равен –8?
Решение.
Из условия имеем b8=12, b12= --8. По определению геометрической прогрессии b12:b8=q4, b12:b8=12:(--8)< 0, q4>0, следовательно такой прогрессии не существует.
Ответ: не существует.
9.1.В08 и 9.1.В09 однотипные.
9.1.В08
а) Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если ее восемнадцатый член в 27 раз больше ее двадцать первого члена.
Решение.
Из условия имеем b18=27b21 , b21: b18=q3=1/27Þ q=1/3.
Ответ: 1/3.
Перед решением уровня С необходимо повторить свойства арифметической и геометрической прогрессий.
Рассмотрим несколько примеров решения уровня сложности С.
9.1.С04.
а) Дана арифметическая прогрессия { аn}. Найдите a1 + a11 + a14 + a24 , если
a5 + a20=26.
Решение.
Воспользуемся свойством арифметической прогрессии получим a1 + a24= a11 + a14=a5 +a20= 26. Следовательно искомая сумма равна 52.
Ответ: 52.
9.1.С05.
а) Найдите сумму всех членов арифметической прогрессии 2; 6; … с седьмого по тринадцатый включительно.
Решение.
Сумма членов с седьмого по тринадцатый включает в себя 7 членов прогрессии,вычисление суммы начнем с седьмого члена, поэтому формула
n первых членов прогрессии примет вид S7=(2a7 + 6 d)×7:2.
Найдем разность прогрессии и c7. d=a2 –a1= 6-2=4, c7=c1+6d=2+6×4=26.
S7=(2×26+4×6)×7: 2=266/
Ответ: 266.
9.1.С08.
а) Найдите х, если известно, что числа х-3, Ö5х, х+16 являются последовательными членами геометрической прогрессии ( в указанном порядке).
Решение.
q=b2: b1=b3: b2 ; q=Ö 5x : (x-3)= (x+16): Ö 5x , 5x=(x-3)(x+16),
5x= x2+16x-3x-48,
x2+8x-48=0, x1=-12, x2=4. Так как подкоренное выражение не отрицательно, то х=-12 посторонний корень.
Ответ: 4.
9.1.С10.
а) Если одиннадцатый член геометрической прогрессии увеличить в 8 раз и сложить с тринадцатым членом, то получится число в 6 раз больше ее двенадцатого члена. Найдите знаменатель прогрессии.
Решение.
Из условия имеем 8b11+ b13=6b12. Выразим b12 и b13 через b11 , получим
8b11+ b11 × q2=6b11× q, b11 (q2-6q+8)=0, q2-6q+8=0, q=2, q=4.
Ответ: 2 или 4.
Следует отметить, что решение этих примеров не требует пространных комментариев. Вместе с тем представляется целесообразным записывать решение с такой степенью подробности, которая делает ясной и понятной логику преобразований и обеспечивает простоту и удобство проверки ( и самопроверки учеником) решения.