Управление образования Администрации г. Екатеринбурга (стр. 2 из 5)

Пирамида Хафра была всего лишь элементом заупокойного комплекса, который включал в себя маленькую пирамиду-спутницу, вероятно построенную для супруги Хафра, стену ограждения, заупокойный храм, дорогу, храм в долине и порт, который также необходимо было построить. Современное состояние сохранности комплекса позволяет сказать, что все его элементы были завершены. Храмы Хафры, ставшие образцами для фараонов Древнего царства, были построены из многотонных блоков гранита и известняка. Каменные блоки у входа в его заупокойный храм достигают в длину 5,45 м и весят до 42 тонн. Это были обширные здания: 113 м на 49 м — заупокойный храм, и 45 м на 50 м — храм в долине, сохранившаяся высота которого в настоящее время составляет 13 м. Учитывая найденные фрагменты, общее количество скульптурных произведений нижнего храма Хафра насчитывает более 200 статуй.

Наличие в теоретической модели этой пирамиды «египетского» треугольника со сторонами 3:4:5 достаточно очевидно и особых разногласий на сей счет у специалистов не возникает. Но дальнейший анализ закономерностей такой платформы пирамиды остается вне сферы внимания у архитекторов, математиков и историков. Поэтому возьмем соотношение элементов пирамиды за основу и выясним математические особенности модели пирамиды Хафра.

Значения основных углов пирамиды Хафра.

На фоне иррациональных значений углов, выраженных в градусной мере, выглядит вполне лаконичной и, главное, предельно точной их запись в тригонометрической форме. Иначе говоря, такие углы входят в состав соответствующих треугольников со сравнительно простым соотношением сторон.

Как можно заметить, математическая модель пирамиды Хафра особенно наглядно демонстрирует целый комплекс оригинальных взаимоотношений целых чисел или рациональных дробей, но не без участия и иррациональных, посредством взаимного проникновения прямоугольных треугольников. Получается что формулу этой модели пирамиды определяют три целочисленных треугольника со сторонами 3:4:5, 8:15:17, 7:24:25.

3.Египетский треугольник

Египетский треугольник — прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5.

Особенностью такого треугольника, известной ещё со времён античности, является то, что при таком отношении сторон теорема Пифагора даёт целые квадраты как катетов, так и гипотенузы, то есть 9:16:25. Египетский треугольник является простейшим (и первым известным) из Героновых треугольников — треугольников с целочисленными сторонами и площадями.

Название треугольнику с таким отношением сторон дали эллины: в VII - V веках до н. э. греческие философы и общественные деятели активно посещали Египет. Так, например, Пифагор в 535 до н. э. по настоянию Фалеса для изучения астрономии и математики отправился в Египет — и, судя по всему, именно попытка обобщения отношения квадратов, характерного для египетского треугольника, на любые прямоугольные треугольники и привела Пифагора к формулировке и доказательству его знаменитой теоремы.

Египетский треугольник с соотношением сторон 3:4:5 активно применялся для построения прямых углов землемерами и архитекторами.

Для построения прямого угла использовался шнур или верёвка, разделённая отметками (узлами) на 12 (3+4+5) частей: треугольник, построенный натяжением такого шнура, с весьма высокой точностью оказывался прямоугольным и сами шнуры-катеты являлись направляющими для кладки прямого угла сооружения.

В архитектуре средних веков египетский треугольник применялся для построения схем пропорциональности.

Любой треугольник можно построить геометрическим способом, если известна длина всех трех сторон и длина двух сторон и угол между ними, если задано соотношение сторон треугольника. Последнее действительно задано как 3 : 4 : 5

Для доказательства теоремы о египетском треугольнике необходимо использовать отрезок прямой известной длины А-А1.Он будет служить масштабом, единицей измерения, и позволит определить длину всех сторон треугольника. Три отрезка А-А1 равны по длине наименьшей из сторон треугольника ВС, у которой соотношение равно 3. А четыре отрезка А-А1 равны по длине второй стороне, у которой соотношение выражается числом 4. И, наконец, длина третьей стороны равна пяти отрезкам А-А1. Проведем отрезок ВС, являющийся наименьшей стороной треугольника. Затем из точки В радиусом, равным отрезку с соотношением 5, проводим циркулем дугу окружности, а из точки С —дугу окружности радиусом, равным длине отрезка с соотношением 4. Если теперь точку пересечения дуг соединить линиями с точками В и С, то получим прямоугольный треугольнике соотношением сторон 3 : 4 : 5. Что и требовалось доказать.

3 + 5 = 8. а число 4 составляет половину числа 8. Числа 3, 5, 8 имеют прямое отношение к золотому сечению и входят в так называемый «золотой ряд»: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... В этом ряду каждый последующий член равен сумме двух предыдущих: 1 + 1= 2. 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8 и так далее.

Выражение «золотое сечение» впервые ввел в XV веке Леонардо да Винчи. Но сам «золотой ряд» стал известен в 1202 году, когда его впервые опубликовал в своей «Книге о счете» итальянский математик Леонардо Пизанский. прозванный Фибоначчи. Однако почти за две тысячи лет до них золотое сечение было известно Пифагору и его ученикам. Правда, называлось оно по-другому, как «деление в среднем и крайнем отношении». А вот египетский треугольник с его «золотым сечением» был известен еще в те далекие времена, когда строились пирамиды в Египте.

Так кому же принадлежит первенство в этих выдающихся знаниях? Ясно, что их корни скрываются в глубине тысячелетий или в просторах космоса. О золотом сечении «забыли» в средние века, когда инквизиторы в церковных мантиях в борьбе с новыми веяниями в науке мечом и огнем уничтожили многие знания и их носителей, среди которых было много выдающихся мыслителей и посвященных. Но о нем вспомнили в XIX веке. Позднее оно нашло широкое применение в архитектуре, искусстве, полиграфии, компьютерах и в других областях человеческой деятельности.

Когда говорят о золотом сечении, то чаще всего имеют в виду гармоничное соотношение высоты к ширине или соотношение последовательных отрезков, расположенных на одной прямой и находящихся в отношении друг к другу согласно «золотому» ряду чисел. Здание, в котором отношение высоты к ширине или отношение между высотами отдельных надстроек-этажей укладывается в «золотой» ряд, выглядит гармонично. Очевидно, все в мире подчиняется золотому правилу. И всякое искусственное его нарушение приводит к искажению законов природы и космоса, вносят дисгармонию в окружающее пространство.

А как же египетский треугольник? Ведь у него отношение катетов, то есть «ширины» к высоте, составляет 3:4 и как бы выпадает из «золотого» ряда чисел? Но так ли это? Пристроим к египетскому треугольнику АВС (рис.3) равный ему треугольник ВСД так, чтобы катет ВС, в цифровом

выражении равный 4, был общим. Получим равнобедренный треугольник АВД. В нем

рис.3

отношение высоты к основанию ВС : АД = 4:6 = 2:3. соотношение 2:3 — из «золотого» ряда.

Посмотрим теперь другой параметр: отношение высоты к боковой стороне: ВС : АВ = ВС : ВД = 4:5. Подобное соотношение применялось в прошлом и применяется в наше время в прикладных искусствах. В древние времена оно находило применение в архитектуре.

А теперь пристроим к египетскому треугольнику АВС равный ему треугольник АСЕ так, чтобы уже другой катет АС стал общим для них. Получим равнобедренный треугольник АВЕ, в котором отношение высоты к основанию АС : ВЕ = 3:8. Числа 3 и 8 тоже из «золотого» ряда, но они не являются соседними в ряду. Оказывается, это не служит препятствием для создания гармоничной пропорции. Более того, пропорция, образованная этим равнобедренным треугольником, где АС : ВЕ = 3 : 8. по мнению некоторых специалистов, в частности Р. Энгель-Гардта (1919 г.), дает «чудесную гармонию». Таким образом, получается, что египетский треугольник прямо и косвенно связан с золотым сечением.

Слева - "пирамида" в которой соотношение высоты к основанию ВС:АД = 4 : 6 = 2 : 3 - удовлетворяет пропорции золотого ряда чисел. Справа - равнобедренный треугольник у которого соотношение высоты к основанию АС:ВЕ = 3 : 8 также образует гармоническую пропорцию

.

рис.4

4. Составные треугольники.

В следующей части своей работы я выяснила, какие существуют потенциальные возможности составных треугольников( основополагающих схем).

Обратимся к схеме прямоугольного треугольника, где суммируются два различных угла. Для этого в качестве исходного примера возьмем сумму двух треугольников из пирамиды Хафра (Хефрена), имеющих стороны 3;4;5 и 3;5;

.

Рис.5

Рис.6. Пирамида Хафра и определяющий её параметры египетский треугольник

В результате рассмотрения закономерностей такого примера и применений соответствующих навыков, а так же пользуясь уже приведенными данными автора одной из книг, можно получить более общую параметрическую схему прямоугольного треугольника. Появляется возможность рассмотреть свойства прямоугольного треугольника изнутри – через универсальный безразмерный параметр.

Рис.7. Параметрическая структурная схема прямоугольного треугольника с демонстрацией принципа взаимодействия ( суммирования) двух углов.

Из рис.7 имеем:

где

- тангенсная мера угла ; -тангенсная мера угла ; -тангенсная мера угла ( + ) .