Управление образования Администрации г. Екатеринбурга (стр. 1 из 5)
МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕСИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СВЕРДЛОВСКОЙ ОБЛАСТИ
Управление образования Администрации г. Екатеринбурга
МОУ – Гимназия № 45
Ансамбль пирамид в Гизе – кладезь математических знаний.
Научный проект по геометрии
Исполнители:
Кадачигова Юлия,
ученица 11 «А» класса
Иванов Алексей
ученик 11 «А» класса
Гимназии №45
Руководитель:
учитель Высшей категории
Бердникова Т.В.
г. Екатеринбург
2008 г.
Содержание:
Введение. 3
1. Ансамбль пирамид в Гизе. 4-6
1.2 Диагональные пропорции пирамид. 6-7
2. Пирамида Хафра. 8-9
3. Египетский Треугольник. 10-13
4. Составные треугольники. 14-16
4.1 Единая формула для составления
основного- результирующего угла. 17-21
5. Знания в области математики и арифметики Древнего Вавилона. 22-25
6. Практическая часть «Записки программиста» 26
6.1 Алгоритм 26-28
6.2 Язык программирования 28
6.3 Интерфейс 29
6.4 Листинг 29-34
Заключение. 35
Список литературы. 36
Введение
На сегодняшний день человеку известно очень многое о величии древних пирамид. Этой теме посвящено не мало изданий. Нам тоже стала интересна эта тема, и рассмотрение ее в ранее не изведанной области, которую автор одной из книг назвал «Пирамидометрия».
Фактически, мы впервые прикоснулись к древнейшему архиву математики, зафиксированному в форме пирамид, основываясь на широко известных и мало известных свойствах чисел и геометрических форм. Пирамиды являются не только притягательными сооружениями, но и интеллектуальными посланиями из глубины тысячелетий, сокровищницами системы красивейших математических законов. За всю историю наука не знала подобных примеров мудрости, исходящей от наших предшественников.
Поэтому мы поставили для себя следующие задачи:
1) Узнать максимально о фигуре в форме четырехугольной пирамиды и выяснить, почему такой почет отдан именно этой фигуре. Какая геометрическая суть вкладывалась в пропорции столь грандиозных объектов?
2) Разобраться в особенностях египетского треугольника и единой формуле для трех сторон результирующего прямоугольного треугольника.
3) Создать на основе исследованного материала собственную математическую программу.
Мы решили углубиться в эту тему с научной точки зрения, а именно, рассмотреть строение пирамид.
1. Ансамбль пирамид в Гизе
Пирамида – это многогранник, одной из граней которого служит многоугольник. В зависимости от числа боковых граней пирамиды делятся на треугольные, четырехугольные и т.д.
История древних цивилизаций немыслима без фигур в форме четырехугольной пирамиды. В течение столетий с непостижимым упорством возводились целые горы из камня в виде пирамид. Следы этих сооружений находят в местах, отстоящих друг от друга на тысячи километров. Всем известны наиболее сохранившиеся пирамиды в Египте и, в частности, на плато Гизе( на западном берегу великой реки Нил).
Так почему такой почет именно этой фигуре и какая геометрическая суть вкладывалась в пропорции столь грандиозных объектов?
Вопрос не нов, и спектр ответов широк, особенно в отношении Великой пирамиды (пирамиды Хеопса или Хуфу).
Так, одной из загадок Великой египетской цивилизации считается совершенно точное вычисление объема усеченной пирамиды с квадратным основанием:
V=
(a2 +ab +b2)h,где a и b – длины сторон оснований, h – высота.
Но еще более феноменальным является то, что при внимательном рассмотрении закономерностей в пропорциях теоретической модели Великой пирамиды, именно в ней, мы находим небывалый источник информации о свойствах коэффициента золотого сечения и в его различных комбинациях. Фактически мы имеем объемную фигуру, которая является неиссякаемым генератором чудесных отношений.
Ансамбль пирамид в Гизе, относящийся ко времени IV династии, скомпонован в единую группу. Все пирамиды довольно точно расположены по странам света почти параллельно одна другой. Трудность точного измерения пирамид (почти полное разрушение облицовки и непостоянный уровень песка) приводит к сильно различающимся у разных авторов размерам (так, высота пирамиды Хеопса указывается в отдельных случаях с разницей в 2 м). Поэтому при анализе пропорций здесь необходима особая осторожность.
В построении общего плана ансамбля наблюдаются простые отношения: равенства и половины. Так, расстояние от угла пирамиды Хеопса до центра пирамиды Хефрена, находящегося почти на продолжении диагонали пирамиды Хеопса, равно этой диагонали.
Если провести координаты, параллельные сторонам (и странам света), через центры всех трех пирамид ансамбля, то окажется, что по линии север–юг расстояния между центрами пирамид одинаковы, причем эти расстояния равны 3/2 стороны пирамиды Хеопса.
Центр каждой следующей пирамиды по горизонтальной координате отстоит от основания предыдущей на расстоянии, равном стороне своего собственного основания (с очень небольшой неточностью).
Как меньшая, пирамида Микерина
выдвинута вперед по координате запад–восток, так что юго-восточные углы всех трех пирамид находятся почти на одной прямой.
рис. 1. Пропорции пирамид в Гизе.
Пропорции пирамид в Гизе близки между собой. Разрезы всех пирамид дают приблизительно одинаковое отношение высоты к стороне основания и сходный угол наклона 2 боковых сторон, равный у пирамиды Хеопса 51°20′, у пирамиды Хефрена 50°20′ и у пирамиды Микерина 51°. Высота и сторона основания пирамиды Хеопса — 146.59 и 230.35 м, а по другим данным — 148.2 и 232.8 м, Хефрена — 143.5 и 215.25 м; Микерина — 66.4 и 108.04 м.
В пирамиде Хефрена отношение высоты к стороне основания составляет 2 : 3, причем эта пропорция выдержана математически правильно:
Поэтому разрез пирамиды Хефрена может быть построен из двух сложенных треугольников с отношением сторон 3 : 4 : 5, где величина 4 соответствует высоте. При таком предположении пирамиду Хефрена можно считать самым ранним памятником, в котором проявляются пропорции египетского треугольника.
1.1 Диагональные пропорции пирамид в Гизе.
Все описанные пропорции обнаруживаются в поперечном разрезе пирамид. Однако более вероятным представляется следующий способ определения их пропорций. В папирусе Ринд, предположительно относимом к Древнему царству, есть задачи на построение пирамид. В них связываются три величины, относящиеся к диагональному сечению (разрезу) через пирамиду по противоположным ребрам: диагональ основания пирамиды, сторона ребра и угол между ними. Требуется по любым двум данным из этих трех величин найти третью.
Возможность решения этих задач позволяет сделать вывод, что построение пропорций пирамиды основывалось на диагональном сечении. В простейшем случае это построение можно представить себе таким образом: если мы разрежем квадрат по диагонали и половину его загнем на вертикальную плоскость, то получим диагональный разрез пирамиды, для которой весь квадрат является основанием. Такой идеальный случай не встречается при построении пирамид (везде их высота меньше половины диагонали основания), но все же они могли быть построены по тому же методу.
Пирамида Хефрена построена по производным квадрата. Но диагональ его половины засечена от края квадрата, а не от середины. Из средней точки основания пирамиды О восстановлен перпендикуляр, определяющий вершину пирамиды (Б — на продолжении верхней горизонтали квадрата) и угол плана (В — на продолжении диагонали квадрата или в точке пересечения перпендикуляра с полуокружностью). Заштрихованный внутренний треугольник является диагональным разрезом пирамиды. Те же результаты могут быть получены следующим построением. Из крайней точки А исходного квадрата радиусом, равным половине диагонали полуквадрата, засекается крайняя точка Б диагонали пирамиды. Радиусом ОБ описывается полуокружность до точки В. Соединение точек Б и В с точками Г и Д определит половину основания и диагональный разрез пирамиды. При указанных построениях получается отношение высоты разреза к основанию:
1+ 1.118=2.118(Основание)
Реальная величина этого отношения в пирамиде Хефрена (при стороне в 215.25 м,
высоте 143.50 м и вычисленной диагонали 304.36 м) будет:
(отклонение на 0.0007, много меньше допустимого).Эта величина соответствует малой функции золотого сечения.
Важная роль отношения 0.472 для построения пирамиды Хефрена подтверждается тем, что то же отношение определяет основные пропорции плана преддверия храма при пирамиде Хефрена, выдвинутого вперед.
рис.2
2. Пирамида Хафра.
Хотя пирамида Хафры и уступает размерами пирамиде его отца Хуфу, её положение на более высоком холме и её более крутой склон делают её достойной соперницей Великой Пирамиды. Две довольно большие камеры и два перекрещивающихся прохода, которые ведут в горизонтальный коридор, представляют собой довольно скромное по отношению к пирамиде Хуфу пространство. Кровлю камеры обеспечивал свод на стропилах, расцененный как более прочный, чем горизонтальные ригели пирамиды Хуфу. Ниша для каноп, размещенная около саркофага Хафра, была новшеством, которое станет распространенным в более позднее время. Ныне эта пирамида находится в хорошем состоянии, хотя её размеры несколько уменьшились, и составляют на сегодняшний день основание - 210,5 × 210,5 м и высота - 136,5 м.