6. Доказать, что не существует целых чисел х, у, для которых справедливо равенство
х2– у 2= 1982.
7. Пусть т и п - взаимно простые натуральные числа. Доказать, что не существует натуральных чисел х и у, удовлетворяющих уравнению тх+пу=тп.
8. Доказать, что число 7п 2+ 1 не делится на 3 ни при каком натуральном п.
9. Доказать, что не существует целых чисел х и у, удовлетворяющих уравнению
15х 2= 9+ 7у 2.
10. Доказать, что если т, п, k - натуральные числа и число т + п + k делится на 6, то число
т 3+ п 3+ k 3 также делится на 6.
11. Доказать, что если целые числа т и п не делятся на 5, то число т 4– п 4делится на 5.
12. Доказать, что для любых целых т и п число т 6п 2– п 6т 2 делится на 30.
13. Доказать, что дробь (п+1)4+ п 4-1, где п - натуральное
2
число, можно представить в виде произведения двух натуральных чисел, разность которых равна двум.
14. Доказать, что ни при каких натуральных т и п не может быть верным равенство:
1) т (т+ 1)=п (п+2);
2) т 2+ (т+ 1)2 = п 4+ (п+ 1)4.
15. Доказать, что ни при каком натуральном п сумма п 3 + 6п 2+ 15п+15 не делится на п+2.
16. Найти все натуральные п, при которых число п 4+ п 2+ 1 является простым.
17. Найти все пары целых чисел х, у, удовлетворяющих уравнению
х 2= у 2+2у+ 13.
18. Найти четыре последовательных натуральных числа, произведение которых равно 5040.
Задачи со вступительных экзаменов в вузы
1. Найти натуральное наименьшее число, кратное 7 и при делении на 8 дающее в остатке 2.
2. Найти остаток от деления (n2+1) на 3, если (n+2) делится на 3.
3. Натуральное число n при делении на 5 дает в остатке 4. Найти остаток от деления (n+2)2 на
4. При делении на 6 натуральные числа m и n дают остатки 2 и 3, каков остаток от деления на 6 числа (mn-2)?
5. Натуральное число n при делении на 12 дает в остатке 4. Найти остаток от деления n на 3.
6. При каком наименьшем натуральном k число 18k является кубом натурального числа.
7. При каком наименьшем натуральном k число 24k3 является квадратом натурального числа?
8. При каком наименьшем натуральном p число 42p будет кратно 162?
9. Найти натуральные числа p и q, если НОД(648, 6p*15q)=108.
10. Сколько существует натуральных чисел п, для которых число 3п + 5 является двузначным числом?
11. Сколько существует натуральных двузначных чисел пт, для которых произведение цифр
п т не превосходит 4?
12. Для скольких натуральных чисел п число 3п/(п + 5) лежит в промежутке [1;3/2]?
13. При каких натуральных значениях п число (п 2+6)/( п +2) является натуральным числом?
14. При каких натуральных значениях п число 4 – 43 + 4n является квадратом натурального числа?
15. Для каких целых отрицательных чисел п число n2+ 7n +12 является простым числом?
16. Для скольких целых чисел п число (16 - n2 ) / 5 является натуральным числом?
17. Для скольких целых чисел п число (9 - n2 ) / (3 + n2 ) является натуральным числом?
18. Сколько существует целых чисел, для которых число 2 + 4 п + n2 является натуральным числом, которое меньше 14?
19. Для скольких целых значений выражение (2п + 1)/ (п -2) является целым числом?
20. Для каких целых значений параметра число ( n2 - п + 1) / ( п +2) является целым?
21. Найти все пары натуральных чисел (п,m) являющихся решениями уравнения 2 n – 2 m=56.
22. Найти все натуральных числа Х, для которых наименьшее общее кратное чисел Х и Х+1 равно 3Х.
23. Найдите все пары натуральных чисел (п,m), таких что n + m =77, а их наименьшее общее кратное равно 110.
24. Сколько существует натуральных двузначных чисел п, для которых дробь п / ( п + 10) является несократимой?
25. Сколько существует двузначных четных чисел, которые при делении на 9 дают в
остатке 2?
26. Сколько существует двузначных четных чисел, которые не делятся на 5 без остатка?
27. Найдите все натуральных двузначные числа, которые делятся на число 5 без остатка, а при делении на число 17 дают остаток 1?
28. Найти сумму всех натуральных двузначных чисел, которые при делении на число 5 дают остаток 4?
29. Остаток от деления натурального числа Х на 19 равен 17. Найдите остаток от деления числа 2Х на 19.
30. Найдите остаток от деления числа N + 4M на 4, если натуральные числа N и M при делении на число 4 дают остатки 1 и 3 соответственно.
Во множестве отобранных задач на делимость было очень трудно разобраться, но затем удалось разбить их на группы, каждая из которых имела какой-то определенный метод решения. А некоторые задачи можно было решить и не одним способом.
Во многих из этих задач есть такой элемент, который делает их непохожими на известные задачи, и возможно, потребует для решения некоторой сообразительности, смекалки, творческого подхода.
Разложение на множители (или слагаемые)
Задача 1
Доказать, что при любом целом n число (7n-2)2-(2n-7)2 делится на 5 и на 9.
Решение: (7n-2)2-(2n-7)2=(7n-2-2n+7)(7n-2+2n-9)=(5n+5)(9n-9)=5(n+1)·9(n-1) – кратно и 5, и 9.
Задача 2
Доказать, что число n3+11n делится на 6 при любом натуральном n.
Решение: n3+11n=n(n2+11)=n(n2-1+12)=n(n-1)(n+1)+12n, первое слагаемое это произведение трех последовательных натуральных чисел, среди которых одно обязательно делится на 3 и хотя бы одно делится на 2, значит, оно делится на 6. А второе слагаемое содержит множитель 12, кратный 6. Так как каждое слагаемое в этой сумме делится на 6, то и вся сумма делится на 6.
Задача 3
Доказать, что при всяком целом значении n, многочлен n5-5n3+4n делится на 120. Рассмотрим делитель. Число 120 можно представить в таком виде: 120=1*2*3*4*5, т.е. в виде произведения пяти последовательных целых чисел, начиная с единицы. В натуральном ряду чисел каждое второе делится на 2, каждое третье – на 3, каждое четвертое – на 4, каждое пятое – на 5 и т.д. Таким образом, если мы имеем произведение любых пяти последовательных целых чисел, то одно из них обязательно будет делиться на 2, одно – на 3, одно – на 4, одно – на 5, а все произведение будет делиться на 2*3*4*5, т.е. на 120.
Теперь вся задача будет сводиться к представлению нашего многочлена в виде произведения пяти последовательных чисел, что и выполняется следующим образом: n5-5n3+4n=n(n4-5n2+4)=n(n4-n2-4n2+4)=n[(n2-1)*n2-(n2-1)*4]=n(n2-1)(n2-4)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2). Раз наш многочлен представляет собой произведение пяти последовательных чисел, то он делится на 120 при любом целом значении n.
Задача 4
Доказать, что если x и y – целые числа такие, что число 3x+8y делится на 17, то число 35x+65y также делится на 17.
Решение: Так как 3x+8y делится на 17, то (17x+17y)-(3x+8y)=14x+9y тоже делится на 17. Тогда 7(3x+8y)+14x+9y=21x+56y+14x+9y=35x+65y делится на 17.
Исключение целой части числа
В некоторых задачах решение легко находится, если применить исключение целой части числа. Особенно часто этот метод применяется, когда в целых числах решается одно уравнение с двумя переменными. Рассмотрим этот прием на нескольких задачах.
Задача 1
Найти все целые x и y, удовлетворяющие уравнению x+y=xy.
Решение: x+y=xy, <=> x-xy = -y,
x(1-y) = -y,
x = -y/(1-y)
x=y/(y-1)=(y-1+1)/(y-1)=1+(1/(y-1))
(1/(y-1)) є Z, если y-1=±1
y-1=1, y=2
y-1=-1, y=0
Если y=0, то x=0/(1-0)=0
Если y=2, то х=-2/(1-2)=2
Ответ: (0;0) и (2;2).
Задача 2
Для каких целых n число (n2-n+1)/(n+2) является целым?
Решение: разделив числитель дроби на ее знаменатель, выделим целую часть у данной дроби (n2-n+1)/(n+2)=(n-1)+1/(n+2) – число будет целым тогда, когда n+2 – является делителем 1, т.е. если n+2=1 или n+2= -1
n= -1 n= -3.
Равноостаточные классы
Тот факт, что любое число n при делении на 2 может дать остаток 0 или 1, при делении на 3 – один из остатков 0, 1, 2 и т.д., при делении на k – только один из следующих остатков 0, 1, 2, 3, …, k-1, может также служить отправным пунктом при решении задач, связанных с делимостью чисел.
Задача 1
Доказать, что разность между квадратом числа, которое не делится на 3, и единицей, делится на 3.
Решение: если число не делится на 3, то оно имеет вид 3k+1 или 3k+2. В первом случае разность между его квадратом и единицей равна (3k+1)2-1=9k2+6k+1-1=9k2+6k, во втором (3k+2)2-1=9k2+12k+4-1=9k2+12k+3. В обоих случаях разность делится на 3, т.к. каждое слагаемое делится на 3. Примечание. Числа, не делящиеся на 3, можно представить не двумя, а одной формулой 3k±1. Доказательство аналогично.
Применение теоремы Безу
Теорема Безу:
Остаток от деления многочлена a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an на двучлен х-а равен значению этого многочлена при х равном а.
Из теоремы Безу следует, что при любом нечетном значении n выражения an +bn и an -bn делятся соответственно на a +b и a-b, а при четном n разность an -bn делится и на a +b, и на a-b. На основании этого факта решаются многие задачи на делимость.
Задача 1
Доказать, что ни при каком натуральном n сумма n3+6n2+15n+15 не делится на (n+2).
Решение: согласно теоремы Безу, если многочлен P(n) делится на (n-a), то остаток от деления этого многочлена на (n-a) будет равен 0 или P(a) при любом n. Найдем P(-2)=(-2)3+
+6(-2)2+15(-2)+15= -8+24-30+15=11. Остаток отличен от 0, значит ни при каком n сумма n3+6n2+15n+15 не делится на (n+2).
Задача 2
Доказать, что выражение 39n-2·4n+18n делится на 7 при любом натуральном n.
Решение: запишем наше выражение в таком виде:
39n-2·4n+18n =(39n-4n)+(18n-4n), тогда 39n-4n делится на разность оснований степеней, т.е. на 39-4=35, а следовательно, делится и на 7, 18n-4n также делится на разность оснований 18-4=14, а значит и на 7.