Задачи на делимость (стр. 4 из 4)
Определение. Делитель в теории чисел называется модулем, а числа, дающие при делении на модуль одинаковые остатки, называются сравнимыми по модулю.
Например, 8 = 7•1+1, 15 = 7•2+1. Числа 8 и 15 при делении на 7 дают одинаковые остатки, равные 1, следовательно, 8 и 15 сравнимы по модулю 7. Это записывают так: 15≡8 (mod 7), аналогично 22≡15 (mod 7). В качестве модуля можно взять любое натуральное число. Например, 20≡5 (mod 3), 16≡4 (mod 4), 37≡7 (mod 10). Вообще a≡b (mod m), если a = mc + r, b = mc + r, где 0 < r < m. Вообще, если a≡b (mod m), то a – b = (mc + r) – (md + r) = m(c – d) делится на m. Мы доказали, что если числа сравнимы по модулю m, то их разность делится на модуль m. Верно и обратное утверждение: если разность двух чисел делится на m, по эти числа сравнимы по модулю m. В самом деле, если бы эти числа не были сравнимы по модулю m, то давали бы разные остатки при делении на m, но тогда их разность не могла бы делиться на m.
Сравнения по одному и тому же модулю, можно перемножать, следовательно, и возводить в натуральную степень. Итак, пусть a≡b (mod m) и c≡d (mod m). Докажем, что ac≡bd (mod m). Доказательство. Рассмотрим разность ac – bd = ac – bc + bc – bd = c(a – b) + b(c – d) делится на m, так как (a – b) делится на m и (c – d) делится на m. Следовательно, ac≡bd (mod m), что и требовалось доказать.
Задача 3
Найдите остаток от деления на 7 произведения чисел 1995•1996•1997•1998•1999.
Решение: так как 1995≡0 (mod 7), то 1995•1996•1997•1998•1999 ≡ 0•1•2•3•4 ≡ 0 (mod 7). Таким образом, остаток равен 0.
Задача 4
Найдите остаток от деления на 7 числа 1996•1997•1998•1999•2000•2001.
Решение: имеем 1996•1997•1998•1999•2000•2001≡1•2•3•4•5•6=720≡20≡6 (mod 7). Остаток равен 6.
Заметим, что остаток от деления числа на 10 есть последняя цифра этого числа. Пример. 21≡1 (mod 10), 134≡4 (mod 10). Для решения ряда задач на поиски последней цифры числа полезна следующая «таблица».
| 1k≡1 (mod 10) 42k≡6 (mod 10) 24k≡6 (mod 10) 24k+1≡2 (mod 10) 24k+2≡4 (mod 10) 24k+3≡8 (mod 10) | 5k≡5 (mod 10) 42k+1≡4 (mod 10) 34k≡1 (mod 10) 34k+1≡3 (mod 10) 34k+2≡9 (mod 10) 34k+3≡7 (mod 10) | 6k≡ 6 (mod 10) 92k≡ 1 (mod 10) 74k≡1 (mod 10) 74k+1≡ 7 (mod 10) 74k+2≡9 (mod 10) 74k+3≡3 (mod 10) | 92k+1≡9 (mod 10) 84k≡6 (mod 10) 84k+1≡8 (mod 10) 84k+2≡4 (mod 10) 84k+3≡2 (mod 10) |
Работая над темой «Задачи на делимость», я провела анализ ее применения в 6-11 классах средней общеобразовательной школы. Познакомилась с различными способами решения этих задач. Выяснила, что решение задач данной тематики особенно актуально, так как они часто встречаются в олимпиадах по математике, а также на вступительных экзаменах в различные ВУЗы.
Данную работу можно использовать в качестве элективного курса по математике, так как в ней воедино собраны все виды задач на делимость.
Список, используемой литературы:
1. Учебник Алгебра 7 класса, Ш.А. Алимов и другие.
Учебник Алгебра 8 класса, Ш.А. Алимов и другие.
Учебник Алгебра 9 класса, Ш.А. Алимов и другие.
2. Учебник Алгебра 7 класса, Ю.Н. Макарычев и другие.
Учебник Алгебра 8 класса, Ю.Н. Макарычев и другие.
Учебник Алгебра 9 класса, Ю.Н. Макарычев и другие.
3. Математика – 6, А.Г. Петерсон, Г.В. Дорофеев.
4. Ю.М.Макарычев и Н.Г.Миндюк, Дидактические материалы по алгебре для 8 класса,1998.
5. Н.Н.Воробьев, Признаки делимости, 1988.
6. В.Е.Андреев, Задачи на делимость, 1991.
7. Г.Г. Хамов, Алгебра и теория чисел в школьной математике, 1991.
8. http://www.1september.ru/
9. http://inf.1september.ru/
10. http://kvant.mirror0.mccme.ru/
Приложение 1
Решение задач на делимость можно начать с упражнений по следующим темам:
Понятие делимости.
1. Известно, что aЄZ. Верно ли высказывание:
а) если а делится на 15, то а делится на 5;
б) если а делится на 5, то а делится на 15?
2. Пусть А – множество чисел, кратных 22. Принадлежит ли множеству А:
а) любое число, кратное 44;
б) любое число, кратное 11?
3. Известно, что А – множество четных чисел, В – множество чисел, кратных 8. Верно ли высказывание:
а) АЄВ
б) ВЄА
4. Пусть Х – множество чисел, кратных 15. Укажите два каких-либо бесконечных его подмножества.
5. Постройте схему Эйлера для множеств А и В, если А – множество чисел, кратных 36, В – множество чисел, кратных 12.
6. Изобразите с помощью кругов Эйлера множества Х и У и охарактеризуйте их пересечение, если:
а) Х – множество нечетных чисел, У – множество чисел, кратных 3;
б) Х – множество чисел, кратных 8, У – множество чисел, кратных 4.
7. Пусть Р – множество чисел, кратных 12, М – множество чисел, кратных 8. Укажите два каких-либо которые:
а) принадлежат каждому из множеств;
б) принадлежат множеству Р, но не принадлежат множеству М;
в) принадлежат множеству М, но не принадлежат множеству Р.
Покажите соотношение между множествами Р и М с помощью кругов Эйлера.
8. Приведите пример каких-либо множеств А и В, соотношение между которыми показано с помощью схемы Эйлера на рисунке 1.а) б)
 |
Рис.1
9. Найдите пересечение и объединение множеств А и В, если А – множество чисел, кратных 5, В – множество чисел, кратных 10.
10. Докажите, что:
а) 321 + 322 + 323 делится на 13;
б)258 – 515 делится на 4.
Свойства деления с остатком
1. Из данных пар чисел выберите те, которые при делении на 5 дают равные остатки:
166 и 116; –78 и –12; –24 и 11.
2. Укажите два положительных и два отрицательных числа, которые при делении на 4 дают такой же остаток, что и число 78.
3. Известно, что разность 127 – а делится на 7. Какой остаток при делении на 7 дает число а?
4. Какой остаток получится при делении:
а) 3168 на 10;
б) 5146 на 6?
5. Найдите остаток от деления:
а) 2·354 на 13;
б) 7·158 на 14.
6. Докажите, что:
а) 212 + 8 делится на 9;
б) 736 – 1 делится на 10.
7. Используя алгоритм Евклида, найдите наибольший общий делитель чисел:
а) 2784 и 7008;
б) 5964 и 8148
Приложение 2
Понятие делимости
1. Известно, что aЄZ. Верно ли высказывание:
а) если а делится на 9, то а делится на 18;
б) если а делится на 18, то а делится на 9?
2. Пусть С – множество чисел, кратных 14. Принадлежит ли множеству С:
а) любое число, кратное 28;
б) любое число, кратное 7?
3. Известно, что Р – множество четных чисел, Х – множество чисел, кратных 4. Верно ли высказывание:
а) РЄХ
б) ХЄР
4. Пусть У – множество чисел, кратных 12. Укажите два каких-либо бесконечных его подмножества.
5. Постройте схему Эйлера для множеств А и В, если А – множество чисел, кратных 8, В – множество чисел, кратных 16.
6. Изобразите с помощью кругов Эйлера множества А и В и охарактеризуйте их пересечение, если:
а) А – множество четных чисел, В – множество чисел, кратных 5;
б) А – множество чисел, кратных 6, В – множество чисел, кратных 3.
7. Пусть F – множество чисел, кратных 10, К – множество чисел, кратных 15. Укажите два каких-либо которые:
а) принадлежат каждому из множеств;
б) принадлежат множеству F, но не принадлежат множеству К;
в) принадлежат множеству К, но не принадлежат множеству F.
Покажите соотношение между множествами F и К с помощью кругов Эйлера.
8. Приведите пример каких-либо множеств Х и У, соотношение между которыми показано с помощью схемы Эйлера на рисунке 2.
а) б)
 |  |
Рис.2
9. Найдите пересечение и объединение множеств А и В, если А – множество чисел, кратных 36, В – множество чисел, кратных 12.
10. Докажите, что:
а) 516+ 517 + 519 делится на 131;
б)86 – 215 делится на 7.
Свойства деления с остатком
1. Из данных пар чисел выберите те, которые при делении на 4 дают равные остатки:
326 и 102; –92 и –22; –50 и 14.
2. Укажите два положительных и два отрицательных числа, которые при делении на 5 дают такой же остаток, что и число 68.
3. Известно, что разность 215 – b делится на 6. Какой остаток при делении на 6 дает число b?
4. Какой остаток получится при делении:
а) 2162 на 3;
б) 3171 на 13?
5. Найдите остаток от деления:
а) 3·175 на 16;
б) 5·212 на 13.
6. Докажите, что:
а) 78 + 4 делится на 5;
б) 3172 – 1 делится на 8.
7. Используя алгоритм Евклида, найдите наибольший общий делитель чисел:
а) 2808 и 3384;
б) 3192 и 4648.