http://www.mathnet.spb.ru - Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина
http://www.turgor.ru - Турнир городов — Международная математическая олимпиада для школьников
Приложение 2
Пример задания по подготовке к олимпиаде по математике
5 КЛАСС
Задача 1. Расстояние между двумя машинами, едущими по шоссе, равно 200 км. Скорости машин - 60 км/ч и 80 км/ч. Чему будет равно расстояние между ними через 1 час?
Решение. Возможны четыре случая (сделайте рисунок!):
1) Машины едут навстречу друг другу: 200-(60+80)=60 км;
2) Машины едут в разные стороны: 200+(60+80)=340 км;
3) Машины едут в одну сторону, вторая догоняет первую: 200+(60-80)=180 км;
4) Машины едут в одну сторону, вторая впереди: 200+(80-60)=220 км.
Ответ. Возможны четыре случая: 60, 180, 220 и 340 км.
Задача 2. Как при помощи только пяти цифр 5, знаков арифметических действий и скобок представить каждое из чисел от 0 до 10 включительно?
Решение. Например:
0=(5-5)*(5+5+5)
1=5:5+(5-5)*5
2=(5+5):5+5-5
3=(5*5-5-5):5
4=5-5:5+5-5
5=5+(5-5)*(5+5)
6=5+5:5+5-5
7=5+5:5+5:5
8=5+(5+5+5):5
9=(5*5-5):5+5
10=5+5+(5-5)*5
Задача 3. Ученик написал на доске пример на умножение двузначных чисел. Затем он стёр все цифры и заменил их буквами. Получилось равенство:
AB * CD = MLNKT
Докажите, что ученик ошибся.
Решение. Равенство AB*CD=MLNKT получиться не может, так как наибольшее возможное произведение двузначных чисел 99*99<100*100=10000.
Задача 4. В трёх ящиках лежат орехи. В первом орехов на 6 меньше, чем в двух других вместе, а во втором - на 10 меньше, чем в первом и третьем вместе. Сколько орехов в третьем ящике?
Решение. Обозначим через x, y и z количества орехов в каждом из трех ящиков. Сложив два равенства x+6=y+z и y+10=x+z, получим, что 2z=16, откуда z=8.
Ответ. В третьем ящике 8 орехов.
Задача 5. После 7 стирок длина, ширина и высота куска хозяйственного мыла, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, уменьшились вдвое. На сколько еще стирок хватит оставшегося мыла?
Решение. Нарисовав кусок мыла и поделив каждую сторону пополам, видим, что получится 8 маленьких кусочков, каждый из которых равен оставшемуся поcле 7 стирок. То есть на 7 стирок ушло мыла столько, сколько было в остальных 7 кусочках, поэтому остатка хватит ровно на одну стирку.
Ответ. Оставшегося мыла хватит на одну стирку.