22. Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского. Ортогональный нормированный базис, процесс ортогонализации. Матрица и определитель Грама. Ортогональная проекция вектора на подпространство.
23. Билинейные и квадратичные формы их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду(метод Лагранжа). Закон инерции квадратичных форм, положительно определённые квадратичные формы, критерий Сильвестра(без доказательства).
24. Приведение квадратичной формы к диагональному виду ортогональной заменой координат.
25. Поверхности второго порядка в трёхмерном пространстве., заданные каноническим уравнением.
Составитель: д.ф.-м.н. Чубаров И.А. (МГУ им. М.В. Ломоносова)
ДИСЦИПЛИНА «Дифференциальные уравнения»
1. Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, разрешённое относительно производной, его геометрический смысл.
2. Существование и единственность решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, понятие об особых точках.
3. Уравнения с разделяющимися переменными, линейные однородные и неоднородные уравнения первого порядка.
4. Уравнения в полных дифференциалах, понятие об интегрирующем множителе.
5. Уравнения первого порядка, разрешённые относительно зависимой или независимой переменной.
6. Существование и единственность решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка (без доказательства).
7. Линейное однородное уравнение второго порядка, уравнение с постоянными коэффициентами, неоднородное уравнение, метод вариации постоянных. Решение линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью в виде квазимногочлена.
8. Определитель Вронского для двух функций, для решений уравнения второго порядка.
9. Краевые задачи для линейного уравнения второго порядка, функция Грина, теорема существования.
10. Линейно зависимые и линейно независимые системы функций. Определитель Вронского, его свойства и выражение для решений линейного уравнения n-го порядка.
11. Метод вариации постоянных для линейного неоднородного уравнения n-го порядка.
12. Решение линейного однородного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами, решение неоднородного уравнения с правой частью в виде квазимногочлена(без доказательства).
13. Понятие о бесконечномерных линейных пространствах. Пространства со скалярным произведением, сходимость пол норме. Понятие об ортонормированных системах и базисах.
14. Тригонометрическая система, её ортогональность. Формулы для коэффициентов суммы тригонометрического ряда. Ряд Фурье интегрируемой функции. Теорема о сходимости ряда Фурье( без доказательства), комплексная форма ряда Фурье.
15. Уравнения в частных производных. Задача Коши для линейного однородного уравнения первого порядка, существование и единственность её решения(без доказательства).
16. Уравнение колебаний струны. Задача Коши для неограниченной струны, формула Даламбера. Решение начальной задачи для полуограниченной струны с закреплённым концом.
17. Задача о колебаниях ограниченной струны, решение методом Фурье.
18. Решение задачи Коши о распространении тепла в конечном стержне методом Фурье.
Составитель: проф.Подольский В.Е.(МГУ им. М.В. Ломоносова)
Рекомендуемая литература:
Основная
22. Бараненков Г.С., Демидович Б.П. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов (под ред. Демидовича Б.П.) — М.: изд. Аст: Астрель, 2003.
23. Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики. М., Наука, 1985 (Альянс, 2007).
24. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М., Наука, 1984 (Дрофа, 2006).
25. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Наука, 1988 (Дрофа, 2007).
26. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. ФКП. М., Наука, 1985 (Дрофа, 2005).
27. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Задачник. М., Наука, 1982. (Физматлит, 2001).
28. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. — М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003(серия “Классический университетский учебник”).
29. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Медведев Г.Н., Шишкин А.А. Математический анализ в вопросах и задачах. М., Наука, Физматлит, 2001.
30. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики: учебник для вузов, М., Наука, 2000.
31. Владимиров К.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики: задачник для вузов, М., Наука, 2000.
32. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М., Наука, 1980 (Лань, 2008).
33. Гусак А.А. Высшая математика. Т. 1,2. — Минск: изд. ТетраСистемс, 2008.
34. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения, М., Наука, 1979.
35. Б.П. Демидович, В.П. Моденов, Дифференциальные уравнения. С.П-б.: «Иван Фёдоров», 2003
36. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
37. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика. — М.: Проспект: изд. МГУ, 2004 (серия “Классический университетский учебник”).
38. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия: Учебник для вузов. М. Физматлит, 2007.
39. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. М. Физматлит, 2007.
40. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Профессия: Спб, 2005
41. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. т. 1, 2. Альфа, 1998 (Физматлит, 2005).
42. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Т.1 Предел. Непрерывность. Дифференцируемость. М., Физматлит, 2003.
43. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Т. 2. Интегралы. Ряды. М., Физматлит, 2003.
44. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Т. 3. Функции нескольких переменных. М., Физматлит, 2003.
45. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.
46. Пикулин В.П., Похожаев С.И. Практический курс по уравнениям математической физики. М., Наука, 1995.
47. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. Высшая школа,1999
48. Привалов И.И. Аналитическая геометрия. Лань, 2008
49. Сборник задач по математике для втузов. Под ред. Ефимова А.В., Поспелова А.С. М., Физматлит, ч.1-4, 2001 – 2004.
50. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексного переменного. М., Наука, 1999 (Физматлит, 2001). (ФИЗМАТЛИТ, 2004).
51. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., Наука, 1993, М.: Изд-во МГУ, 2004(серия “Классический университетский учебник”).
52. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. Лань, 2007
53. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., Эдиториал УРСС, 2000.
Программы математических дисциплин в образовательной области
«Биология» (УГС 020200-020206,020208,020209)
1. Базовая часть
| Дисциплина | Семестр | Трудоем. |
| Высшая математика | 1-2 | 11 |
ИТОГО: 11 з.е.
2. Углубленный курс
| Дисциплина | Семестр | Трудоем. |
| Линейная алгебра и аналитическая геометрия | 1-2 | 4 |
| Математический анализ | 1-4 | 8 |
ИТОГО: 18з.е.
3.Вариативная часть
Элементы уравнений математической физики (3з.е.)
Элементы теории функций комплексного переменного (3 з.е.).
Примечание. Основной курс изучается студентами всех специальностей данного направления. В вузах, или потоках, дающих углубленную математическую подготовку, дополнительно изучаются дисциплины углубленного курса и дисциплины вариативной части в объеме до 24 зачетных единиц по решению вуза.
Основной курс
Дисциплина «Высшая математика»
Элементы аналитической геометрии и линейной алгебры
Матрицы и определители, их основные свойства, действия с ними.
Примеры моделей в биологии, использующих матрицы( контакты первого и второго рода с больными, распределение генотипов в популяции). Системы линейных уравнений, существование и единственность решения. Правило Крамера. Векторы, действия с ними, выражение через координаты. Прямая и плоскость в пространстве. Простейшие кривые второго порядка, понятие о поверхностях второго порядка.
Основы математического анализа
Предел последовательности и функции. Действия с пределами, связь с бесконечно малыми. Общие теоремы л пределах. Эквивалентные величины, их свойства. Таблицы эквивалентных, понятие о символе «о-малое».
Точная верхняя и нижняя грани множества, теорема Вейерштрасса о монотонных последовательностях. Число e.
Непрерывные функции, основные свойства, непрерывность элементарных функций, «замечательные пределы».
Дифференцируемость функции одной переменной, связь с непрерывностью и с производной. Дифференциал, его геометрический смысл, инвариантность.
Правила дифференцирования, таблица производных, производная сложной функции, обратной функции и функции, заданной параметрически.
Теоремы Ферма, Ролля и Лагранжа, следствия из них. Исследование поведения функции с помощью производной, построение графиков с полным исследованием.