Ладная тематика ов, эссе и курсовых работ студентов по разделам программы (стр. 6 из 21)

6. Определённый интеграл.

Понятия интегральной суммы и определённого интеграла. Определённый интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона–Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле.

Геометрические приложения определённого интеграла (вычисление площадей криволинейных трапеций и криволинейных секторов, вычисление объёмов по известным поперечным сечениям и объёмов тел вращения, вычисление длины дуги кривой). Некоторые физические приложения (вычисление координат центра масс материальной кривой; работа переменной силы, действующей вдоль прямой).

7. Ряды (начальные понятия).

Понятие числового ряда. Необходимый признак сходимости.

Знакоположительные ряды. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов (два признака сравнения, признак Даламбера, признак Коши).

Знакопеременные ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Формулировка признака Дирихле.

Понятие об абсолютно и условно сходящихся рядах.

Понятие интеграла с бесконечным верхним пределом (непрерывный аналог ряда).

Понятие о степенном ряде и его свойствах. Ряд Тейлора. Условия разложимости функции в ряд Тейлора.

8. Функции нескольких переменных.

Понятие функции двух и большего числа переменных. Предел функции двух переменных, непрерывность, частные производные.

Дифференцируемые функции двух переменных. Понятие дифференциала. Связь между существованием частных производных и дифференцируемостью. Необходимое условие дифференцируемости. Формулировка достаточного условия дифференцируемости.

Дифференцирование сложной функции. Инвариантность выражения

(свойство инвариантности дифференциала функции двух переменных).

Производная по направлению. Градиент функции.

Геометрические приложения (уравнение касательной к линии, заданной уравнением вида

, и уравнение плоскости к поверхности, заданной уравнением ; уравнения нормали).

Частные производные и дифференциалы высших порядков. Неинвариантность дифференциала второго порядка.

Экстремум функции двух переменных. Необходимые условия экстремума. Формулировка достаточных условий экстремума (в простейшем случае).

9. Дифференциальные уравнения (начальные понятия)

Понятие дифференциального уравнения. Порядок дифференциального уравнения. Общее решение. Частные решения, начальные условия. Пример задачи из естествознания, приводящейся к дифференциальным уравнениям.

Дифференциальные уравнения 1-го порядка, формулировка теоремы о существовании и единственности решений. Уравнения с разделяющимися переменными. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Дифференциальные уравнения 2-го порядка, формулировка теоремы существования и единственности решений. Простейшие уравнения 2-го порядка, интегрирование которых (т.е. отыскание решений) сводится к интегрированию уравнений 1-го порядка.

Дополнительный курс ( 020600,020602,020603)

Дисциплина «Математический анализ (дополнительные главы: кратные, криволинейные и поверхностные интегралы)»

1. Двойные интегралы.

Линии на плоскости. Односвязные и многосвязные области на плоскости. Замкнутые области. Свойства функций, непрерывных в замкнутых областях.

Разбиения области, интегральные суммы. Определение двойного интеграла. Необходимые и достаточные условия интегрируемости функции. Основные свойства двойного интеграла. Теорема о среднем. Геометрические и физические приложения двойного интеграла. Площадь поверхности.

Вычисление двойного интеграла. Криволинейные координаты на плоскости (в частности, полярные). Якобиан и его геометрический смысл. Теорема о замене переменных в двойном интеграле.

2. Тройные интегралы.

Линии и поверхности в пространстве (в частности, поверхности 2-го порядка и цилиндрические поверхности). Области в

, ограниченные кусочно–гладкими замкнутыми поверхностями. Разбиение области. Интегральные суммы. Определение и свойства тройного интеграла. Вычисление тройного интеграла.

Криволинейные координаты в пространстве (в частности, сферические и цилиндрические координаты). Якобиан, его геометрический смысл. Формула замены переменных в тройном интеграле.

Приложения тройных интегралов.

3. Криволинейные интегралы.

Определение криволинейного интеграла

рода (на плоскости и в пространстве). Свойства криволинейного интеграла рода. Вычисление криволинейного интеграла рода. Геометрические приложения (в частности, вычисление площади цилиндрической поверхности) и физические приложения.

Определение криволинейного интеграла

рода и его свойства. Вычисление криволинейного интеграла рода. Формула Грина (для односвязных и многосвязных областей). Условие независимости значения криволинейного интеграла рода от пути интегрирования. Физический смысл криволинейного интеграла рода.

4. Поверхностные интегралы.

Определение поверхностного интеграла

рода, его свойства. Вычисление поверхностного интеграла рода. Геометрические и физические приложения.

Ориентация поверхности в пространстве. Определение поверхностного интеграла

рода, его свойства. Связь между поверхностными интегралами и рода. Физический смысл поверхностного интеграла рода. Поток жидкости. Формула Стокса. Теорема Гаусса–Остроградского.

Градиент, ротор, дивергенция.

Дисциплина «Обыкновенные дифференциальные уравнения.»

1. Дифференциальное уравнение, его порядок, решение. Поле направлений, изоклины, интегральные кривые.

2. Формулировка теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения первого порядка. Огибающая. Уравнение Клеро, его общее и особое решение.

3. Задача Коши для уравнения

го порядка. Формулировка теоремы о существовании и единственности решения. Однородные линейные уравнения го порядка. Свойства решений.

4. Линейная зависимость и независимость функций. Определитель Вронского и его свойства.

5. Фундаментальная система решений, её существование. Общее решение однородного линейного уравнения

го порядка.

6. Неоднородное линейное уравнение

го порядка, его общее решение. Метод вариации постоянных.

7. Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (однородные и неоднородные). Уравнение Эйлера.

8. Решение дифференциального уравнения в виде суммы ряда.

9. Уравнение Бесселя и функции Бесселя.

10. Свойства функций Бесселя нулевого и первого порядка.

Дисциплина «Дифференциальные уравнения с частными производными»

1. Линейные пространства, примеры. Скалярное произведение и норма в линейном пространстве. Неравенство Коши–Буняковского.

2. Ортогональность. Примеры ортогональных систем. Линейная независимость ортогональных функций.

3. Разложение функций по ортогональной системе. Коэффициенты Фурье. Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля.

4. Тригонометрические ряды Фурье. Вычисление коэффициентов. Формулировки теорем о сходимости.

5. Вывод одномерного уравнения теплопроводности. Постановка краевых задач для этого уравнения.

6. Метод сеток для решения первой краевой задачи для уравнения теплопроводности. Явная и неявная схемы.

7. Разделение переменных в одномерном уравнении теплопроводности. Основная лемма Фурье.

8. Задача Штурма–Лиувилля. Свойства собственных значений и собственных функций. Формулировка теоремы Стеклова.

9. Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности методом Фурье.

10. Уравнение теплопроводности, задача без начальных условий. Температурные волны в почве.

11. Оператор Лапласа в полярных координатах. Решение методом Фурье задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Интеграл Пуассона.

12. Решение методом Фурье задачи о колебании закреплённой струны.

13. Задача Коши для одномерного волнового уравнения и её решение методом Даламбера.

14. Функции

и . Ортогональность системы . Норма функции . Использование функций Бесселя для решения краевых задач в цилиндрической области.