Ладная тематика ов, эссе и курсовых работ студентов по разделам программы (стр. 7 из 21)
ДИСЦИПЛИНА «Дифференциальные уравнения (дополнительные разделы), использование функций комплексного переменного»
1. Нормальная система
обыкновенных уравнений первого порядка. Задача Коши. Формулировка теоремы о существовании и единственности решений. Линейные системы. Свойства решений.2. Линейно зависимые и независимые вектор–функции. Определитель Вронского для вектор–функций, его свойства.
3. Фундаментальная система решений. Её существование. Общее решение линейной однородной системы.
4. Неоднородные линейные системы. Общее решение. Метод вариации постоянных.
5. Автономные системы. Фазовые пространства и траектории. Первые интегралы. Необходимое и достаточное условие существования первого интеграла. Формулировка теоремы о существовании
независимых первых интегралов системы 
го порядка.6. Линейные однородные уравнения с частными производными первого порядка. Характеристики.
7. Квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка. Сведение к системе обыкновенных уравнений.
8. Задача Коши для уравнения с частными производными первого порядка. Формулировка теоремы о существовании и единственности решения. Линейные и нелинейные волны.
9. Течение воды в канале.
10. Уравнение кинематической волны.
11. Классификация уравнений с частными производными второго порядка в случае двух независимых переменных.
12. Канонический вид уравнений с частными производными второго порядка
. Корректная постановка задач для разного типа уравнений.13. Комплексные числа. Стереографическая проекция. Степенная функция комплексного переменного.
14. Ряды с комплексными членами. Абсолютная и условная сходимость. Признаки Даламбера и Коши (признак Коши с верхним пределом).
15. Степенные ряды в комплексной области. Круг и кольцо сходимости.
16. Функции комплексного переменного. Функции
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
. Их свойства.17. Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Коши–Римана в декартовой и полярной системах координат. Сопряжённые гармонические функции.
18. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Конформные отображения.
19. Интеграл от функции комплексного переменного. Интегральная теорема Коши (без доказательства). Теорема о составном контуре.
20. Интеграл с переменным верхним пределом от аналитической функции. Первообразная аналитической функции.
21. Интегральная формула Коши.
22. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора. Бесконечная дифференцируемость аналитических функций.
23. Теорема Лорана. Изолированные особые точки однозначного характера.
24. Плоско параллельное течение жидкости и комплексный потенциал.
25. Обтекание вертикального отрезка бесконечно глубоким потоком с заданной величиной скорости на бесконечности.
26. Преобразование Фурье и его свойства. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности методом преобразования Фурье.
27. Применение преобразования Фурье к задаче гидродинамики атмосферы.
ДИСЦИПЛИНА «МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ»
1. Постановка задач оптимизации. Задача математического программирования. Балансовые условия и условия в форме неравенств.
2. Необходимое и достаточное условие экстремума гладкой функции одного переменного. Приближённое решение уравнения
методом хорд и касательных. Приближённое нахождение экстремума функции одного переменного. Примеры численных решений уравнения 
.3. Унимодальные функции. Метод дихотомии, симметрические методы: Фибоначчи, золотого сечения. Оценки точности вычислений. Скорость сходимости методов.
4. Интерполяция. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Оценка погрешности. Интерполяционная формула Ньютона для неравных промежутков. Поиск минимума унимодальной функции методом парабол. Два способа нахождения интерполяционного многочлена третьего порядка.
5. Квадратичная форма. Матрица квадратичной формы. Собственные значения. Положительная определённость квадратичной формы, связь с собственными значениями. Критерий Сильвестра. Локальный Экстремум функции двух и трёх переменных. Примеры.
6. Понятие условного экстремума. Метод множителей Лагранжа. Достаточные условия условного экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции в заданной области.
7. Постановка задачи линейного программирования. Исключение балансовых условий. Ресурсная задача. Транспортная задача. Геометрическое решение задачи в случае двух переменных. Понятие симплекс–метода, геометрическая иллюстрация.
8. Метод наименьших квадратов.
9. Вариационное исчисление. Классическая задача вариационного исчисления. Вывод уравнения Эйлера. Доказательство экстремальности решения уравнения Эйлера. Примеры. Другие случаи граничных условий (свободный конец, изопериметрическая задача). Оптимизация работы ГЭС зимой. Приближённые методы решения. Прямые методы. Конечно–разностный метод Эйлера. Метод Ритца.
10. Выпуклое множество. Подграфик и надграфик функции. Выпуклость функции. Достаточное условие выпуклости.
11. Задача выпуклого программирования.
12. Численные методы оптимизации. Методы нулевого и первого порядка. Метод покоординатного спуска, метод случайного поиска.
13. Градиентный метод. Приближённое построение градиента.
14. Штрафные и барьерные функции. Понятие об овражных функциях.
Вариативный курс Уравнения математической физики (дополнительные главы (океанологи и метеорологи))
1. Формулы Грина и интегральное представление гармонических функций.
2. Свойства гармонических функций:
а) интеграл по границе от производной по нормали,
б) две теоремы о среднем,
в) принцип максимума.
3. Постановка внутренних и внешних задач для уравнения Лапласа в случае двух и трёх переменных. Единственность внутренней и внешней задач Дирихле. Единственность решения задачи Неймана.
4. Функция Грина для задачи Дирихле в случае круга, шара, полупространства.
5. Объёмный потенциал и его свойства.
6. Восстановление векторного поля по его ротору и дивергенции.
7. Гравитационные волны на поверхности жидкости. Постановка проблемы.
8. Двумерные волны в бассейне ограниченной глубины.
9. Кольцевые волны в бассейне ограниченной глубины.
Составитель: доц. А.К. Рыбников( МГУ им. М.В. Ломоносова)
ЛИТЕРАТУРА
Основная
34. Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации.-М.: Наука, 1984; ФИЗМАТЛИТ 2007, (серия “Классический университетский учебник”).
35. Бараненков Г.С., Демидович Б.П. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов (под ред. Демидовича Б.П.) — М.: изд. Аст: Астрель, 2003.
36. Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики. М., Наука, 1985 (Альянс, 2007).
37. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М., Наука, 1984 (Дрофа, 2006).
38. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Наука, 1988 (Дрофа, 2007).
39. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. ФКП. М., Наука, 1985 (Дрофа, 2005).
40. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Задачник. М., Наука, 1982. (Физматлит, 2001).
41. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. — М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003(серия “Классический университетский учебник”).
42. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Медведев Г.Н., Шишкин А.А. Математический анализ в вопросах и задачах. М., Наука, Физматлит, 2001.
43. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики: учебник для вузов, М., Наука, 2000.
44. Владимиров К.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики: задачник для вузов, М., Наука, 2000.
45. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М., Наука, 1980 (Лань, 2008).
46. Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Оптимизация: Теория, примеры, задачи.-М.:URSS;КомКнига,2006
47. Гусак А.А. Высшая математика. Т. 1,2. — Минск: изд. ТетраСистемс, 2008.
48. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения, М., Наука, 1979.
49. Б.П. Демидович, В.П. Моденов, Дифференциальные уравнения. С.П-б.: «Иван Фёдоров», 2003
50. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
51. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика. — М.: Проспект: изд. МГУ, 2004 (серия “Классический университетский учебник”).
52. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия: Учебник для вузов. М. Физматлит, 2007.
53. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. М. Физматлит, 2007.