М. К. Кротова Научный руководитель П. Г. Халатур Москва, 2006 (стр. 2 из 6)
Распознавание полимером поверхности представляет огромный интерес. Тем не менее, этот вопрос в рамках наиболее простых (минимально достаточных) моделей еще только изучается. Целью данной работы является изучение процесса адсорбции сополимера из мономерных звеньев двух типов A и B, на неоднородной поверхности, состоящей из полосок двух типов A и B, притягивающих одноименные звенья и отталкивающие звенья другого типа, а также поиск таких последовательностей звеньев в сополимере, при которых они будут адсорбироваться лучше других на данной поверхности. Таким образом, ставится вопрос об изучении процесса распознавания сополимером поверхности. Здесь под распознаванием мы понимаем такую адсорбцию, когда сополимер, адсорбируясь на узорчатой поверхности, принимает уникальную конформацию, соответствующую основному состоянию и обусловленную геометрией и химическим строением узора. Модель такого процесса адсорбции было была предложена Ю.А. Криксиным, П.Г. Халатуром и А.Р. Хохловым в недавней работе [6]. Эта модель будет изложена в следующем разделе.
3. Модель.
Модель распознавания узора, используемая в данной задаче, была разработана Ю.А. Криксиным, П.Г. Халатуром, А.Р. Хохловым [6]. Они разработали статистическую механическую модель для изучения адсорбции блоксополимера, состоящего из звеньев двух типов A и B, на химически неоднородной поверхности. Поверхность состоит из полосок двух типов (A и B), которые по ширине равны между собой.
Для начала рассмотрим идеальный раствор гауссовых цепей, каждая из которых состоит из N мономеров, находящуюся в объеме V. Предположим, что мономеры цепи являются материальными точками массы m, расстояние между мономерами по цепи a. Гамильтониан, определяющий их взаимодействие со средой и друг с другом, представляет собой сумму двух потенциалов – первый потенциал описывает взаимодействие между соседними по цепи мономерами, обусловленное ковалентной связью, а второй описывает взаимодействие i-го мономера с внешним полем. Слагаемое
описывает взаимодействие соседних мономеров. Отметим, что в (3.1) отсутствуют члены, отвечающие взаимодействию исключенного объема, поэтому в этой модели возможны самопересечения цепи. 
(3.1)Также предположим, что ρ – это плотность мономеров. Тогда статистический интеграл такой цепи может быть записан в виде
, (3.2)где параметр
-это характеристическая длина. Здесь h – постоянная Планка, T – абсолютная температура, k – постоянная Больцмана. Г – это гамма функция, а правый множитель 
обозначает статистический интеграл одиночной цепи, которая является интегралом по всем мономерам. 
, (3.3)где
(3.4)n=2,3…N, и
.Здесь
– потенциальная энергия цепи, 
– радиус-вектор, определяющий положение i-го мономера в пространстве. Для цепи конечной длины N можно написать рекуррентное соотношение для корреляционной функции 
, выражая ее через 
:
(3.5)где n=2,3…N, и
.Теперь можно ввести следующую функцию:
(3.6)где n=2,3…N,
и 
(3.7)где
обозначает произвольную функцию, которая явно или неявно зависит от позиции вектора мономера N полимерной цепи. Таким образом, получилось, что 
(3.8)где n=2,3…N. Эти рекуррентные формулы положены в основу вычислительного алгоритма.
Физические свойства системы подсчитаны как статистические средние по всем возможным конфигурациям системы. В частности, все канонические средние могут быть написаны следующим образом:
(3.9)Так, для свободной энергии системы, нормированной на количество мономерных звеньев, мы имеем
(3.10)Для дальнейших вычислений необходимо еще ввести ограничения. Так, поместим цепь в щель с периодическими границами по x и y направлениям, x=y=d, z=dz (рис.1).
рис.1. схематическое представление модели системы.
Другими словами, эта система трансляционно инвариантна. Поверхности z = 0 и z = dz являются отражающими поверхностями, причем поверхность z = 0 выбрана в качестве адсорбирующие поверхности. На ней находятся полосы одинаковой ширины ls и конечной длины. Каждая из этих полос химически однородна – каждая состоит из молекул типа A или типа B. Также рассматривается цепь, состоящая из мономеров двух типов A и B, причем они их количество зафиксировано так, что количество мономеров типа A равно количеству мономеров типа B. Для начала рассматривается система, в которой длина блока La = Lb= L, причем L<<N. Такие полимеры могут рассматриваться как гомополимеры. Полная длина цепи – N = 2Lx, где x – это число диблоков ALBL. Вклад в последовательность характеризуется параметром σi = α (α = A или B), где i обозначает порядковый номер сегмента по цепи. В принципе, вклад в последовательность может быть изменен так, что могут быть определены различные полимерные структуры. Взаимодействие сополимера с адсорбирующей поверхностью определяется как распределением A или B сегментов по цепи, так и распределением полосок на поверхности, которые предполагаются составленными из двух химически различных видов адсорбционных полосок β (β = A или B), которые по-разному взаимодействуют с мономерами типа A или B.
Определим взаимодействие между соседними по цепи сегментами
(3.11)Это потенциал, который отвечает свободно-сочлененной цепи, и для которого
(3.12)где
- это дельта-функция Дирака. Взаимодействие между i-сегментом цепи типа α (α = A или B) и двумя поверхностями z=0 и z=dz описывается следующим образом: 
(3.13)Здесь
характеризует взаимодействие полимер-субстрат, которое зависит от положения i-ого сегмента по отношению к поверхности и 
- это аффинная функция, которую мы вводим как 
(3.14)Считаем, что взаимодействие полимер-субстрат короткодействующее, то есть только если звенья цепи подогнаны к поверхности z=0, то они находятся под влиянием потенциала адсорбции. Взаимодействие
может вызывать как притяжение, так и отталкивание мономеров от полосы. Это взаимодействие зависит от вида мономера α и от вида полосы на поверхности β. Предполагается, что A и B сегменты адсорбируются преимущественно на полосах того же типа, и получается выигрыш в энергии εAA= εBB=ε, в то время как взаимодействие полимер A(B) и полоса B(A) является отрицательным εAB= εBA=-ε. В данной работе параметр ε предполагается неизменным, в то время как температуру kT можно менять. При низких температурах цепь адсорбируется на поверхности. При высоких температурах цепь просто находится в выделенном объеме.Введем следующие функции:
(3.15)