работа по курсу "Математическая статистика" (стр. 1 из 2)

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ

Кафедра 804 "Теория вероятности и математическая статистика"

КУРСОВАЯ РАБОТА

по курсу

"Математическая статистика"

Выполнил:

студент группы 08-304

Принял:

профессор каф. 804

Кан Ю. С.

Дата: Оценка: Подпись:

2003 г.

Задание 1.

Дан случайный вектор

, где , k = 15.

Методом Монте-Карло найти вероятность

.

Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло) заключается в моделировании требуемой случайной величины с помощью выборки большого объема. При этом вероятность попадания рассматриваемой случайной величины в заданную область Q определяется, исходя из соотношения:

,

где n – объем выборки, m – количество реализаций случайной величины, попавших в область Q.

Для того чтобы смоделировать нормальный случайный вектор с ковариационной матрицей K, задается линейное преобразование, переводящее стандартный нормальный случайный вектор в рассматриваемый случайный вектор с матрицей K.

Чтобы найти матрицу преобразования

, приводим квадратичную форму к сумме квадратов:

, где

,

.

Таким образом, моделируя вектор из трех некоррелированных стандартных нормальных случайных величин, с помощью преобразования

получаем гауссовский вектор с ковариационной матрицей K.

Вектор моделируется с помощью датчика случайных чисел. Для каждой полученной реализации случайного вектора выполняется проверка на попадание в заданный шар. Итоговая вероятность рассчитывается как отношение количества реализаций, попавших в шар, к объему выборки.

На рис. 1а и 1б показаны результаты статистического испытания при объеме выборки n = 10000, k = 15 и k = 1.

Рис. 1а (n = 10000, k = 15)

Рис. 2б (n = 10000, k = 1)

Задание 2.

Имеются 50 опытов наблюдения X и Y:

,

где

.

Оценить параметры a и b методом наименьших квадратов.

Решение 1:

Для нахождения оценок

и применим метод максимального правдоподобия.

,

Составляем функцию правдоподобия:

,

где n – объем выборки (n = 50).

Получаем логарифмическую функцию правдоподобия:

.

Задача максимизации

сводится к минимизации суммы квадратов:

Распишем сумму квадратов:

.

Введем новые обозначения:

С учетом новых обозначений получаем:

J(a,b) = a a² + nb² + 2b ab – 2g a – 2d b + l

Берем частные производные:

2a a + 2b b – 2g,

2nb + 2b a – 2d.

Решаем систему:

	a a + b b = g,
	nb + b a = d.

Получаем:

,

.

Решение 2:

Оценки параметров можно получить, решая так называемую нормальную систему уравнений:

,

где

, ,

Получаем:

т.е. то же самое в виде системы:

	nb + b a = d.
	a a + b b = g,

Как видно, это та же система, что и в решении 1.

Таким образом, с учетом данных, полученных в опытах по наблюдению за X и Y, получаем значения коэффициентов:

a = 121.415720807951,

b = 75.462893127151,

g = 472.393613346561,

d = 293.720213200493,

l = 1838.39078890617.

Получив значения коэффициентов, получаем значения оценки параметров:

a = 3.86747517626168,

b = 0.0373869460469762.

На рис. 2 представлена прямая

.

Рис. 2. Результаты оценки параметров.

Задание 2а.

Построить доверительные интервалы уровня 0.95 для параметров a и b.

Основная МНК-теорема:

Пусть в условия предыдущей задачи

,

.

Тогда

,

.

Следствие:

,

,

где

- (i, i)-й элемент матрицы , - квантиль уровня для распределения Стьюдента с степенями свободы.

С учетом условия задачи (

) и всего вышесказанного, получаем следующее:

Матрица

,

соответственно,

» 0.322795848743494

» 0.132930005519663

» 0.662505924471855

» 2.011

Итого – доверительные интервалы уровня 0.95: