Аксиомы:
1. Проверить, что конфигурация Фано является моделью конечной проективной плоскости порядка 2.
2. Доказать независимость аксиом
III. Определен род структур:
База: символы
Отношения:
Аксиомы:
1. Выяснить, какие из аксиом
2. Выяснить, какие из аксиом
3. Доказать непротиворечивость системы аксиом
4. Выяснить вопрос о независимости аксиом системы
IV. Определен род структур:
База: символы
Отношения:
Аксиомы:
1. Доказать непротиворечивость системы аксиом
2. Доказать независимость аксиом
Занятие 3. Аксиоматика Вейля евклидовой плоскости.
1. Определить структуру евклидовой плоскости в схеме Вейля.
2. Доказать непротиворечивость аксиоматики Вейля евклидовой плоскости.
3. Определить в схеме Вейля прямую, отрезок, луч, полуплоскость, параллельные и перпендикулярные прямые, параллелограмм, окружность, круг.
4. Доказать, что существуют три точки, не лежащие на одной прямой.
5. Доказать, что существуют пары прямых, проходящих через общую точку.
6. Доказать теорему косинусов.
7. Доказать теорему о средней линии треугольника.
8. Доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.
9. Доказать, что прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.
Занятие 4. Контроль остаточных знаний.
Занятие 5-6. Предложения, эквивалентные V постулату Евклида относительно аксиом Гильберта абсолютной геометрии.
На занятии обсуждаются доклады студентов с доказательствами эквивалентности относительно системы аксиом Гильберта абсолютной геометрии V постулата Евклида и каждого из следующих предложений [11], [15]:
1. Две прямые, не пересекающиеся между собой, образуют с любой третьей секущей их прямой равные соответственные углы.
2. Предложение Плейфера: Через точку, не лежащую на прямой, проходит не более одной прямой, не пересекающей данную прямую.
3. Предложение Лежандра: Перпендикуляр и наклонная к прямой всегда пересекаются.
4. Предложение Вольфганга Бойяи: Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность.
5. Сумма углов всякого треугольника равна двум прямым углам.
6. Предложение Посидония: В плоскости существуют, по меньшей мере, три точки, равноотстоящие от данной прямой и лежащие на одной прямой.
7. Предложение Валлиса: В плоскости существует хотя бы одна пара неравных, подобных треугольников.
8. Предложение Насир-Эддина: Если в простом четырехугольнике
9. Предложение Лежандра: Через всякую внутреннюю точку угла можно провести прямую, пересекающую обе стороны угла.
Занятие 7-8. Различные варианты обоснования школьного курса геометрии.