Методические рекомендации для студентов III курса (стр. 3 из 3)

Обсуждение докладов студентов с обзором аксиоматик А.Н. Колмогорова, А.В. Погорелова, А.Д. Александрова школьного курса геометрии [1], [3], [4], [5], [7], [14], [16], [17].

Занятие 9. Интерпретация Пуанкаре плоскости Лобачевского [11], [15], [18].

Доклады студентов.

Занятие 10. Элементы геометрии Лобачевского.

Доклады студентов с доказательствами следующих утверждений на плоскости Лобачевского:

1. Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, острый.

2. Вписанные в окружность углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, не равны.

3. Длина отрезка, соединяющего середины двух сторон треугольника, больше половины длины третьей стороны.

4. В прямоугольном треугольнике величина хотя бы одного из острых углов меньше, чем

5. В прямоугольном треугольнике с острым углом

, катет, лежащий против этого угла, больше половины гипотенузы.

Занятие 11-13. Геометрии Кэли-Клейна на плоскости.

Обсуждение докладов студентов по следующим темам:

1. Схема Кэли и Клейна мероопределения расстояний на прямой и углов в пучке прямых. Девять геометрий Кэли-Клейна на плоскости [12], [19].

2. Модель, свойства параллельных прямых, метрические соотношения между элементами треугольника, формулы движений, циклы в каждой из следующих геометрий на плоскости:

1) евклидова геометрия; 2) геометрия Галилея; 3) псевдоевклидова геометрия Минковского; 4) эллиптическая геометрия Римана; 5) гиперболическая геометрия Лобачевского; 6) дважды гиперболическая геометрия Лобачевского; 7) антиевклидова геометрия; 8) антипсевдоевклидова геометрия; 9) антигиперболическая геометрия.

5. Вариант тестового задания

для контроля остаточных знаний

1. Векторная функция

является гладкой

а) при всех действительных

;

б) при всех действительных

;

в) при всех действительных

;

г) при всех действительных

;

д) при всех действительных

2. Движение плоскости, отличное от тождественного, имеющее прямую неподвижных точек, является

а) поворотом; б) параллельным переносом;

в) гомотетией; г) осевой симметрией;

д) скользящей симметрией.

3. Уравнение

определяет на плоскости относительно прямоугольной системы координат

а) эллипс; б) гиперболу; в) параболу; г) мнимый эллипс; д) пару мнимых параллельных прямых.

4. Векторы

определяют репер Френе в точке

гладкой кривой. Бинормаль к кривой в точке

задается уравнением

а)

; б)

;

в)

; г)

;

д)

5. Проективная прямая, проходящая через точки

, задается уравнением

а)

; б)

;

в)

; г)

;

д)

6. Найти проекцию точки

на прямую

7. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности

в точке

8. Найти уравнение эллипса, расстояние между фокусами которого равно 8, а эксцентриситет равен

9. Найти длину вектора

, если

10. Определить вид множества всех точек плоскости, расстояние от каждой из которых до точки

в два раза больше расстояния до точки

6. Вопросы к экзамену

1. Род структур. Поле действительных чисел, евклидово n-мерное векторное пространство над полем действительных чисел, аффинное n-мерное пространство, евклидово n-мерное точечное пространство, проективное n-мерное пространство, метрическое пространство, топологическое пространство как примеры родов структур.

2. Теория рода структур. Примеры эквивалентных систем аксиом.

3. Модель системы аксиом. Изоморфизм моделей системы аксиом. Примеры моделей систем аксиом поля действительных чисел, евклидова n-мерного векторного пространства над полем действительных чисел, аффинного n-мерного пространства, евклидова n-мерного точечного пространства, проективного n-мерного пространства, метрического пространства, топологического пространства.

4. Непротиворечивость, минимальность и полнота системы аксиом.

5. Основные этапы истории развития геометрии.

6. «Начала» Евклида, их историческое значение, недостатки.

7. Эквивалентность предложений относительно системы аксиом. Эквиваленты пятого постулата Евклида, доказательство одного из них.

8. Обзор системы аксиом Гильберта евклидовой геометрии.

9. Обзор аксиоматики

евклидовой плоскости в учебном пособии Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцева, Э.П. Позняка.

10. Абсолютная геометрия, ее основное содержание.

11. Независимость аксиомы параллельных от остальных аксиом системы

евклидовой плоскости в учебном пособии Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцева, Э.П. Позняка. Модель Кэли-Клейна плоскости Лобачевского.

12. Независимость аксиомы параллельных от аксиом абсолютной геометрии. Модель Пуанкаре плоскости Лобачевского.

13. Треугольники и четырехугольники в плоскости Лобачевского.

14. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского. Определение параллельных прямых, признак параллельности прямых, теорема существования параллельных прямых.

15. Свойства параллельных прямых в плоскости Лобачевского. Функция Лобачевского.

16. Пучки прямых на плоскости Лобачевского. Окружность, эквидистанта, орицикл как траектории пучков прямых.

17. Различные определения длины отрезка. Теорема существования и единственности измерения отрезков при заданной единице измерения.

18. Измерение площадей плоских фигур. Равновеликость и равносоставленность многоугольников.

19. Измерение объемов фигур.

20. Понятие системы положительных скалярных величин.

7. Литература

1. Абрамов, А.М. Логические основы курса планиметрии [Текст] / А.М. Абрамов // Математика в школе. – 1974. – №5. – С. 51-62.

2. Александров, А.Д. Геометрия [Текст] / А.Д. Александров, Н.Ю. Нецветаев. – М.: Наука, 1990. – 672 с.

3. Александров, А.Д. О строгости изложения в учебном пособии А.В. Погорелова [Текст] / А.Д. Александров // Математика в школе. – 1985. – №5. – С. 64-68.

4. Александров, А.Д. Основания геометрии [Текст] / А.Д. Александров. – М.: Наука, 1987. – 288 с.

5. Александров А.Д. Геометрия 8-9 [Текст] / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. – М.: Просвещение, 1995. – 415 с.

6. Атанасян, Л.С. Основания школьного курса планиметрии [Текст] / Л.С. Атанасян. – М.: Просвещение, 1987. – 351 с.

7. Атанасян, Л.С. Геометрия [Текст]: Учеб. пособие, Ч.2 / Л.С. Атанасян, В.Т. Базылев. – М.: Просвещение, 1987. – 351 с.

8. Базылев, В.Т. Геометрия [Текст]: Учеб. пособие, Ч. 2 / В.Т. Базылев, К.И. Дуничев. – М.: Просвещение, 1975. – 367 с.

9. Бахвалов, С.В. Основания геометрии [Текст] / С.В. Бахвалов, В.П. Иваницкая. – М.: Высшая школа, 1972. – 280 с.

10. Болтянский, В.Г. Элементарная геометрия [Текст] / В.Г. Болтянский. – М.: Просвещение, 1985. – 320 с.

11. Ефимов, Н.Е. Высшая геометрия [Текст] / Н.Е. Ефимов. – М.: Наука, 1979. – 256 с.

12. Каган, В.Ф. Основания геометрии. Ч. 2 [Текст] / В.Ф. Каган. – М.: ГИТТЛ, 1956. – 344 с.

13. Клейн, Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Геометрия [Текст] / Ф. Клейн. – М.: Наука, 1987. – 416 с.

14. Колмогоров, А.Н. О пробном учебнике геометрии для VI класса [Текст] / А.Н. Колмогоров, А.Ф. Семенович // Математика в школе. – 1970. – №4. – С. 21-35.

15. Костин, В.И. Основания геометрии [Текст] / В.И. Костин. – М.: Учпедгиз, 1946. – 302 с.

16. Погорелов, А.В. Геометрия 7-9 [Текст] / А.В. Погорелов. – М.: Просвещение, 2001. – 224 с.

17. Погорелов, А.В. Основания геометрии [Текст] / А.В. Погорелов. – М.: Наука, 1979. – 151 с.

18. Широков, П.А. Краткий очерк основ геометрии Лобачевского [Текст] / П.А. Широков. – М.: Наука, 1983. – 77 с.

19. Яглом, И.М. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия [Текст] / И.М. Яглом. – М.: Едиториал УРСС, 2004. – 303 с.

Учебно-методическое издание

Геометрия. Методические рекомендации для студентов III курса математического факультета. Часть 2

Составители:

Толстопятов В. П., к. ф.-м. н., доцент, доцент кафедры геометрии

Подписано в печать Формат 60х84/16

Бумага для множительных аппаратов. Усл. печ. л. 1,5

Тираж 100 экз. Заказ

Уральский государственный педагогический университет

620017 Екатеринбург, пр. Космонавтов, 26