Методические рекомендации для студентов III курса (стр. 1 из 3)

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Уральский государственный педагогический университет»

Математический факультет

Кафедра геометрии

ГЕОМЕТРИЯ

Методические рекомендации

для студентов III курса

математического факультета

Часть 2

Екатеринбург 2008

Составитель: Толстопятов В.П., к. ф.-м. н., доцент кафедры геометрии

Геометрия. Методические рекомендации для студентов III курса математического факультета. Часть 2 / Урал. гос. пед. ун-т: Сост. В.П. Толстопятов. Екатеринбург, 2008. 21 с.

Данное пособие является составной частью учебно-методического комплекса по дисциплине «Геометрия». Оно призвано оказать помощь студентам в самостоятельной работе по изучению теоретического материала, выполнению индивидуальных заданий. В него включены: программа курса, тематические планы лекций и практических занятий, материалы для практических занятий, домашних заданий и контрольных работ, а также вопросы к экзамену.

Содержание

1. Программа курса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

2. Лекции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

3. Практические занятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4. Материалы для практических занятий и домаш-
них работ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5. Вариант тестового задания для контроля оста-

точных знаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

6. Вопросы к экзамену . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

7. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1. Программа курса

Аксиоматический метод

Аксиоматический метод в “Началах” Евклида, его характерные черты: выделение исходных понятий и аксиом, логическое построение теории, вспомогательная роль чертежей. Слабости “наивного” аксиоматического метода: попытки определения основных понятий, расчленение аксиоматики на аксиомы и постулаты; неполнота аксиоматики, вынуждающая апеллировать к “очевидности”, игнорирование проблемы непротиворечивости. История пятого постулата Евклида, доказательства равносильных ему утверждений о сумме углов треугольника, о единственности параллельной прямой. Теоремы Лежандра-Саккери (из абсолютной геометрии) о сумме углов треугольников.

Понятие математической структуры и модели, сигнатура и род, теория данного рода, примеры. Изоморфизм моделей и категоричность теории. Непротиворечивость теории и способ ее доказательства с помощью построения модели. Схема доказательства непротиворечивости числовых систем и действительных векторных пространств, геометрии в аксиоматике Г. Вейля. Понятие независимости аксиомы, примеры из алгебры и геометрии. Эквивалентность теорий.

Построение школьного курса геометрии

Аксиоматика планиметрии по Гильберту. Аксиомы соединения, их следствия и конечная модель. Аксиомы порядка и конгруэнтности, их следствия и арифметические (рациональная и действительная) модели. Аксиомы Архимеда, Кантора и Дедекинда, их следствия. Абсолютная геометрия, ее декартова модель.

Эквивалентность аксиоматик Гильберта и Г. Вейля. Аксиоматика учебника Л.С. Атанасяна и др. Аксиоматика А.В. Погорелова. * Аксиоматика А.Н. Колмогорова. * Аксиоматика А. Д. Александрова.

Геометрия Н.И. Лобачевского

Аксиоматика гиперболической планиметрии, ее непротиворечивость (модель Кэли-Клейна).

Треугольники, четыре признака конгруэнтности. Четырехугольники. Четырехугольник Хайама-Саккери.

Параллельность, ее симметричность и транзитивность. Ось симметрии полосы. Секущая равного наклона. Расходящиеся прямые, их общий перпендикуляр. Поведение расстояния от точки, бегущей по прямой, до прямой, параллельной или расходящейся с данной прямой.

Угол параллельности, функция Лобачевского. Перпендикуляр к стороне угла. Существование абсолютной единицы длины.

Эквидистанта, ее нелинейность, симметричность и касательные. Орициклы, их конгруэнтность, пересечение с прямыми. Орисфера, модель евклидовой геометрии на ней.

Измерение расстояний и углов на карте Кэли-Клейна. Формула Лобачевского для угла параллельности.

Сферическая геометрия

«Прямые» на сфере, сферические углы и движения. Сферические двуугольники, их углы и площади. Сферический треугольник, сумма его углов. Полярность сферических треугольников. Теоремы синусов и косинусов. Эллиптическая геометрия Римана и ее связь с действительной проективной планиметрией.

2. Лекции

1. Понятие математической структуры. Основные свойства системы аксиом.

2. Понятие математической структуры. Основные свойства системы аксиом.

3. Основные математические структуры курса геометрии.

4. Основные этапы истории развития геометрии.

5. Обзор системы аксиом Гильберта евклидовой плоскости.

6. Обзор системы аксиом Гильберта евклидовой плоскости.

7. Обзор аксиоматики

евклидовой плоскости в учебном пособии Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцева, Э.П. Позняка.

8. Обзор аксиоматики

евклидовой плоскости в учебном пособии Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцева, Э.П. Позняка.

9. Исследование аксиоматики

евклидовой плоскости в учебном пособии Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцева, Э.П. Позняка.

10. Исследование аксиоматики

евклидовой плоскости в учебном пособии Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцева, Э.П. Позняка. Независимость аксиомы параллельных.

11. Треугольники и четырехугольники в плоскости Лобачевского.

12. Параллельность прямых на плоскости Лобачевского.

13. Окружности, эквидистанты, орициклы.

14. Различные определения длины отрезка. Понятие площади плоской фигуры. Равновеликость и равносоставленность многоугольных фигур.

15. Понятие объема. Равновеликость и равносоставленность многогранных тел. Величина и ее измерение.

3. Практические занятия

1. Общие вопросы аксиоматики. Проверка требований, предъявляемых к аксиомам.

2. Общие вопросы аксиоматики. Проверка требований, предъявляемых к аксиомам.

3. Аксиоматика Вейля евклидовой плоскости.

4. Контроль остаточных знаний.

5. Предложения, эквивалентные V постулату Евклида относительно системы аксиом Гильберта абсолютной геометрии.

6. Предложения, эквивалентные V постулату Евклида относительно системы аксиом Гильберта абсолютной геометрии.

7. Различные варианты обоснования школьного курса геометрии.

8. Различные варианты обоснования школьного курса геометрии.

9. Интерпретация Пуанкаре плоскости Лобачевского.

10. Элементы геометрии Лобачевского.

11. Геометрии Кэли-Клейна на плоскости.

12. Геометрии Кэли-Клейна на плоскости.

13. Геометрии Кэли-Клейна на плоскости.

4. Материалы для практических занятий,

домашних заданий и контрольных работ

Занятие 1-2. Общие вопросы аксиоматики. Проверка требований, предъявляемых к аксиомам.

Вопросы для обсуждения:

1. Сущность аксиоматического построения геометрии. Определение математической структуры.

2. Основные требования, предъявляемые к системе аксиом, методы проверки выполнения этих требований.

Задачи

I. Задана структура рода группы:

База: символ

, обозначающий непустое множество.

Отношения:

– тернарное отношение, определяющее отображение . Если , то будем записывать .

Аксиомы:

.

.

.

Доказать: а) аксиома

не зависит от аксиом и ;

б) аксиома

, – не зависит от аксиом – .

II. Задана структура конечной проективной плоскости порядка

:

База: символы

, обозначающие непустые множества, элементы которых будем называть соответственно точками и прямыми.

Отношения:

– отношение принадлежности. Если , то будем говорить, что точка лежит на прямой , или прямая проходит через точку , и записывать .