4) Проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности.
5) Модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.
Не следует думать, что математика всегда располагает необходимым аппаратом для исследования математической модели. Зачастую приходилось открывать новые понятия и методы в математике или разрабатывать старые, чтобы делать это.
Математическая модель никогда не бывает полностью тождественна рассматриваемому объекту, процессу или системе. Основанная на упрощении, идеализации она является приближенным описанием объекта. Поэтому результаты, полученные при анализе модели, носят приближенный характер. Их точность определяется степенью адекватности (соответствия) модели и объекта.
Наиболее просто строится модель, когда хорошо известны законы, определяющие поведение и свойства объекта, процесса или системы, и имеется большой практический опыт их применения.
Более сложная ситуация возникает тогда, когда наши знания об изучаемом объекте, процессе или системе недостаточны. В этом случае при построении математической модели приходится делать дополнительные предположения, которые носят характер гипотез, такая модель называется гипотетической. Выводы, полученные в результате исследования такой гипотетической модели, носят условный характер. Для проверки выводов необходимо сопоставить результаты исследования модели на ЭВМ с результатами натурного эксперимента.
Формализация – метод математизации, который неявно является частью математического моделирования. Он состоит в том, что все изучаемые объекты реальности и отношения между ними заменяются наборами символов и отношений между ними в некотором искусственном языке. Да и вообще, система удобных обозначений – важная часть любой области математики. Этот искусственный язык должен быть по возможности компактным, недвусмысленным и простым. Важнейшей частью формализации является правильный перевод предметной области на формальный язык. Привычные нам обозначения основных математических объектов вводились постепенно, начиная с Виета, Декарта, Лейбница и заканчивая Эйлером, Лагранжем, Коши. Этот процесс продолжается до сих пор, так как каждый день возникают новые и новые математические понятия и объекты.
Аксиоматизация – еще один метод математизации. Она состоит в том, что в некоторой области знания из всех истинных утверждений выделяется набор некоторых простейших утверждений или аксиом, из которых посредством логического вывода можно в принципе получить любое утверждение этой области. Конечно, желательно чтобы этот набор был достаточно компактным (хотя бы конечным) и простым.
Со времен Евклида аксиоматический метод построения теории стал эталоном. Например, современный курс математики строится по следующим принципам:
1) Перечисляются неопределённые понятия, которым не дают определения, т.е. называются основные понятия.
2) Формулируются аксиомы, в которых выражены свойства основных понятий.
3) С помощью основных понятий формируются определения других понятий.
4) На основе определений и аксиом доказываются теоремы.
Математика и другие науки.
В процессе математизации естественных, общественных, технических наук и её углубления происходит взаимодействие между методами математики и методами тех отраслей наук, которые подвергаются математизации, усиливается взаимодействие и взаимосвязь между математикой и конкретными науками, формируются новые интегративные направления в науке.
Для эффективного применения понятий и методов математики должны быть первоначальные, исходные необходимые условия, как в самой математике, так и в математизируемой области науки. Говоря о применении математики в той или иной сфере науки, следует иметь в виду, что процесс математизации знания будет идти скорее тогда, когда объект исследования состоит из простых и однородных элементов. Если те объект обладает сложной структурной, то применение математики затрудняется.
В процессе познания действительности математика играет все возрастающую роль. Сегодня нет такой области знаний, где в той или иной степени не использовались бы математические понятия и методы. Проблемы, решение которых раньше считалось невозможным, успешно решаются благодаря применению математики, тем самым расширяются возможности научного познания. Современная математика объединяет весьма различные области знания в единую систему. Этот процесс синтеза наук, осуществляемый на лоне математизации, находит свое отражение и в динамике понятийного аппарата.
Различные науки имеют разный уровень математизации. Для наук, в которых превалирующее значение имеют качественные математические модели, характерен невысокий (более точно, относительно невысокий) уровень математизации. Степень математизации можно характеризовать по тому, какие математические модели используются и насколько широко. Например, применение математики в механике базируется на использовании систем уравнений с частными производными. Причем такие математические модели используются не от случая к случаю, а во всех разделах механики, таких как теория упругости, гидро- аэродинамика и т.д.
Астрономия и физика раньше других наук пришли к убеждению, что математические методы являются для них не только способом вычислений, но и одним из основных методов проникновения в существо изучаемых ими закономерностей. В наше время математизация знаний совершает своеобразный победный марш. И многие науки, остававшиеся до последнего времени вдали от использования математических средств, теперь усиленно наверстывают упущенное. Причина этого заключается, конечно, в первую очередь в том, что качественное изучение явлений природы или процессов экономики, техники и т. д. уже не может удовлетворить нас ни психологически, ни практически. Действительно, без точной количественной формулировки закономерностей их невозможно использовать для предвидения и управления.
Как показывает история науки, ее прогресс во многом связан с применением математики. Обратимся к положению в области биологии с точки зрения математизации науки. Если физика, механика, астрономия и другие науки полностью математизированы, то биология математизирована частично. Ряд биологов и философов продолжают считать невозможным применение математики к изучению процессов живой природы.
Развитие современной биологии показывает несостоятельность таких рассуждений. Математика, выявляя ранее неизвестные связи между предметами и явлениями, помогает решать фундаментальные биологические проблемы.
Идеи и методы математического моделирования в биологии придают новое единство всей биологической науке, позволяют выделить совершенно новые черты структурной общности самых различных уровней организации колоссально разросшегося древа наших знаний о живом.
В настоящее время отмечается все возрастающий уровень математизации химии. Например, химическая кинетика базируется на системах обыкновенных дифференциальных уравнений, химическая гидродинамика - на уравнениях в частных производных и т.д.
Мы являемся свидетелями все более широкого использования математических идей в экономике, истории и других гуманитарных науках. Процесс математизации наук идет чрезвычайно быстро благодаря опыту, накопленному при математизации механики и физики, благодаря достигнутому уровню развития самой математики. Применение математики в химии и биологии в большой степени базируется на уже разработанном ранее математическом аппарате. Поэтому темпы математизации этих наук в значительной степени сдерживаются только уровнем развития самой химии, самой биологии. Здесь важное значение имеет и психологический фактор боязни математики. Без развития экспериментальных и теоретических исследований существенное продвижение за счет только математических методов невозможно. Успешное применение математических методов требует, прежде всего, глубокого овладения содержанием исследуемого процесса или явления, необходимо быть прежде всего специалистом в прикладной области, а потом уже математиком.
Способы и методы математики ныне широко применяются и в изучении социальных явлений и процессов. Применение математики к общественным наукам сопровождается рядом трудностей, одной из которых является то, что социальные структуры неадекватно отражаются математическим аппаратом. Это связано со сложностью, изменчивостью социальных объектов. Судя по всему, в процессе развития математики будут создаваться математические средства, более адекватно отражающие социальную действительность. В этом отношении введение Л.Заде в математику таких понятий, как «функция принадлежности», «расплывчатое множество» можно считать серьезным шагом, предпринятым в данной области. Теория расплывчатого множества способствовала тому, что укрепилась связь между такими областями как социология, психология, языкознание и др.
Место математики в других науках и практике невозможно установить раз и навсегда. Взаимоотношения их весьма сложны и изменяются как в связи с тем, что наши знания и практический опыт растут со временем, так и потому, что сама математика не остается на месте.
Пределы и проблемы математизации.
Проблемы, с которыми сталкиваются исследователи, применяющие математические методы в других науках, можно разделить на два типа. Первые – связанные с проблемами в самой математике, то есть когда, например, математическая модель явления построена, а ее исследование затруднено из-за того, что подходящие методы еще не разработаны, либо их разработка – нерешенная пока проблема (в математике очень много своих “внутренних” проблем). Второй тип связан с самими областями знания, которые подвергаются математизации: либо сложно построить математическую модель, либо построенная и изученная модель неправильно описывает изучаемое явление.