Фрактальность природных объектов (стр. 2 из 3)

Рис 3. Визуализация фрактальной границы между областями притяжения маятника к трём магнитам.

г) Стохастические фракталы

Стохастичность (греч. στόχος — цель или предположение) означает случайность, поэтому стохастическими называются алгебраические или геометрические фракталы, при построении которых случайным образом изменяются какие-либо параметры. С помощью компьютера такие структуры строить достаточно просто: надо просто задать последовательности случайных чисел и настроить соответствующий алгоритм. При этом получаются объекты, очень похожие на природные. Например, несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.

Итак, математические фракталы можно разделить на 2 группы:

1. Фракталы, в основе структуры которых лежит функция, т.е. взаимодействие параметров друг с другом.

2. Фракталы, в основе которых лежит четкая зависимость следующих его элементов от уже построенных, а итоге получается практически одинаковая структура на ее всех уровнях.

В обеих группах возможно случайное варьирование некоторыми параметрами фрактала.

2.2 Биологические фракталы. Природные фракталы.

а) Древние фрактальные животные

Организмы в ходе эволюции усложнялись. Возможно, наиболее простые в древности состояли из одинаковых клеток с фрактальной организацией.

«В прошлом фрактальные животные располагались на глубине нескольких тысяч метров на дне океана. Они не считаются растениями, так как на такой глубине света не хватило бы на процесс фотосинтеза. Предположительно, они жили за счет растворенного в океанских водах углерода и других питательных веществ, которые они поглощали всем телом. Они не могли передвигаться, не имели рта и мышц и являются самыми древними многоклеточными организмами на Земле».³

Одной из наиболее специфических особенностей их строения является их способ формировании тел. Они обладали очень простой структурой ветвления, так как их создание занимало 6-8 «генетических команд», следовательно, они использовали фрактальный способ построение тел.

«Фрактофус – одна из наиболее распространенных окаменелостей в Великобритании, свидетельствующих о существовании в прошлом этих животных. Он состоял из ветвящихся элементов, по 20 с каждой стороны. Каждая ветвь в точности повторяла своего родителя, начиная с микроскопического уровня. Это был простой, но очень эффективный способ построения тела. Благодаря тонко разделенным ветвям у организма была большая по площади поверхность, что позволяло ему впитывать питательные вещества напрямую, не имея рта и пищеварительного тракта.

Используя фрактальный способ построении тела животные впервые в истории жизни на Земле стали крупными. Фрактальный способ оказался полезным для того, чтобы ранние организмы начали развиваться, потому что для создания одной особи требовался минимум генетической информации. Фрактальные организмы исчезли после нескольких миллионов лет своего существования».

Таким образом, Дэвид Аттенборо делает очень важное с нашей точки зрение предположение, заключающееся в том, что фрактальная структура у древних животных позволяла очень просто кодировать информацию об организме. Даже такое примитивное живое существо состояло из многих миллионов живых клеток. Фрактальная структура позволяла организовывать положение этих клеток в пространстве при помощи нескольких простых команд.[3]

б) Современные фрактальные организмы

С течением эволюции полностью фрактальные организмы прекратили свое существование, но фрактальность отдельных структур осталась. В настоящее время фрактальность можно встретить повсеместно.

Растения. Жилка листа состоит из ксилемы (древесина) и флоэмы (луб). Ксилема выполняет функцию транспорта воды и минеральных веществ от корня к листьям (для фотосинтеза), а флоэма транспортирует органические вещества (полученные в результате фотосинтеза) от листьев к корню.

У двудольных и однодольных растений жилкование листа разное. У двудольных растений жилкование подразделяется на пальчатое (клен, ревень) и перистое (дуб, осина, липа) Наиболее яркие фрактальные свойства проявляются при перистом типе жилкования. Для фотосинтеза растению нужна вода, а такой тип жилкования обеспечивает каждую клетку листа достаточным количеством воды, что способствует более быстрому протеканию химических процессов, в том числе и фотосинтеза.

Фрактальность можно наблюдать и у дихотомического ветвления побегов.

«Ветвление имеет большое значение в жизни растения, увеличивая ассимилирующую поверхность (ассимиляция - совокупность процессов синтеза) и улучшая, таким образом, его питание. Вместе с этим нарастает и общее количество меристемы (образовательной ткани). Так как меристема образуется не сразу, растение всегда имеет "запас" этой ткани, используемые не только на естественное увеличение мощности побеговой системы, но и на восстановительные процессы после какого-либо повреждения».[4]

Животные. «Любой орган животного в норме также имеет квазифрактальную (почти фрактальную) структуру, даже если внешне не выглядит фрактализованным. Каждая живая клетка многоклеточного образования должна непрерывно потреблять кислород, питательные вещества, избавляться от углекислого газа и продуктов обмена. Одним словом, она должна достаточно свободно контактировать с внешней средой, чтобы обмениваться с ней веществом и энергией. Для внутренней среды организма функцию внешней среды выполняет кровеносная система, она осуществляет газообмен, обмен питательными веществами, информационными молекулами, управляющими деятельностью клеток, в кровь сбрасываются продукты обмена. Обмен между кровеносной системой и внутренней средой организма осуществляется через двумерную поверхность эндотелия капилляров, то есть через плоскость. Чем больше площадь обмена, то есть площадь эндотелия капилляров, тем обмен интенсивнее, тем большее количество продуктов обмена может быть перенесено через неё за единицу времени. Наиболее эффективно заполнить трёхмерный объём двумерной плоскостью, как упоминалось ранее, можно фрактальной укладкой этой плоскости внутри заданного объёма. Фрактальная укладка позволяет достичь изгибами или ветвлениями фрактальной самоподобной двумерной структуры, заполняющей трёхмерное пространство, каждой клетки, каждого участка внутри заполняемого ею объёма. Кровеносная система опутывает квазифрактальной капиллярной сетью внутренний объём каждого органа организма животного так, что в непосредственной близости от каждой клетки находится капилляр, через который происходит обмен клетки с окружающей средой. Кровеносная система организма и каждого отдельного органа квазифрактальна. Но, если рассматривать кровеносную систему как внешнее, относительно самого органа, пространство, например, если удалить из органа кровеносную систему, то и сам орган, разделённый на сегменты пространством, занимаемым ранее кровеносной системой, будет также представлять собой квазифрактал. Обобщая, можно сказать, что структура всякого достаточно большого многоклеточного органа всегда квазифрактальна, так как только через квазифрактальную организацию можно добиться эффективного обмена каждой клетки органа с окружающей средой».[5]

2.3 Механизм возникновения фрактальных структур в математике. Возможность кодирования фрактала при помощи малого кода.

Итак, существует 2 основных группы математических фракталов: алгебраические, основанные на определенной зависимости, и геометрические, суть которых в многократном повторении определенных алгоритмов при построении фрактала, причем эти алгоритмы повторяются все в меньшем масштабе. Оба эти принципа теоретически могут реализовываться в природе. Алгебраический механизм образования фрактальных структур в живых организмах может возникать из-за их чрезвычайной чувствительности ко многим факторам (любой живой организм является нелинейной системой). Но мы не собираемся глубоко изучать алгебраически фракталы, так как для этого у нас не хватает, ни математических, ни биологических знаний.

Рассмотрим более подробно второй способ образования фрактальных структур – геометрический. Сложная структура живых организмов в процессе роста требует последовательного разворачивания. Такое разворачивание можно организовать по алгоритму создания геометрических фракталов. Такая организация дает два основных преимущества: с одной стороны, простота организации, с другой – возможность описать сложную систему несколькими командами (алгоритмом) ее создания.

Как уже было сказано, фрактальные объекты примечательны тем, что они кодируются при помощи всего нескольких операций, которые и описывают самоподобие объекта. Значит и в случае биологического фрактального организма генетическая информация, достаточная для разворачивания такой системы, будет состоять всего из нескольких команд. В природных фрактальных объектах можно заметить, что самоподобие строится от маленьких элементов к большим.

Рассмотрим, как могут выглядеть такие «генетические команды» в простой математической модели развития такого фрактального объекта.