Фрактальность природных объектов (стр. 1 из 3)
ГОУ Гимназия №1505
«Московская городская педагогическая гимназия-лаборатория»
Реферат
Фрактальность природных объектов
Автор: ученица 9 класса «Б»
Фокин Фёдор
Руководитель: Ветюков Д.А.
Москва
2012
Оглавление
1. Введение………………………………………………………………………………3
2.Основная часть………………………………………………………………………...4
2.1. Виды математических фракталов
а)Геометрические………………………………………………………………..4
б)Алгебраические………………………………………………………………..4
в)Аттракторы. Странные аттракторы…………………………………………..5
г) Стохастические………………………………………………………………..7
2.2 Биологические фракталы
а) Древние фрактальные животные…………………………………………….8
б) Фрактальность современных живых организмов………………………….9
2.3 Механизм возникновения фрактальных структур в математике.
Возможность кодирования фрактала при помощи малого кода…………………….11
3. Заключение…………………………………………………………………………...12
4.Литература…………………………………………………………………………….12
1. Введение
Существует всего 2 типа фракталов: математические и физические (биологические). Математический фрактал (лат. fractus — дроблёный) — бесконечно самоподобная геометрическая фигура, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. Реальные объекты, в частях которых можно заметить фрактальную структуру (т.е. самоподобие, простирающееся до очень мелких структур этих объектов) называются физическими фракталами. Их отличие от математических в том, что их самоподобие конечно, так как не существует тел с бесконечно малыми размерами элементов (размеры тел, по крайней мере, ограничены размерами атомов). Такие объекты мы можем встречать в природе повсеместно: лист дерева, дерево, облако, сеть кровеносных сосудов человека и т.д.
Наше предположение состоит в том, что наличие самоподобия (фрактальности) у живых организмов может являться принципиальным моментом организации живой материи. Развитие от простого к сложному, когда более мелкие структуры повторяют более крупные – это способ компактной схемы построения живого. В такой схеме на каждом уровне масштаба применяется один и тот же алгоритм построения. Целью нашего реферата является выяснение способов организации фрактальных структур (способов их конструирования в случае математических фракталов) и попытке осмысления их назначения в процессе развития живого организма.
Хотя в настоящее время тема фракталов достаточно популярна, назначение фрактальных структур у живых организмов освещена в литературе крайне скудно, поэтому основным источником информации для нашей работы является информация найденная в Интернете.
В начале основной части приведена информация о различных видах математических фракталах их особенностях и характеристиках. Затем мы остановимся на описании биологических объектов, имеющих фрактальную структуру. После этого мы попытаемся проанализировать алгоритмы конструирования фракталов в математике и природе, в заключение попытаемся сформулировать преимущества фрактальной организации в живых организмах.
2. Основная часть
2.1. Виды математических фракталов
а) Геометрические фракталы
«Именно с этого вида фракталов началась история фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к ним применяют набор правил, который преобразует их в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем бесконечное количество преобразований, то получим геометрический фрактал».1
Рис 1. Снежинка Коха
«Из геометрических фракталов очень интересным и довольно хорошо известным является снежинка Коха. Строится она на основе равностороннего треугольника, каждая линия которого заменяется на 4 линии длиной в
исходной. Таким образом, с каждой итерацией длина кривой увеличивается на треть. И если мы сделаем бесконечное число итераций, то получим нужный фрактал, то есть снежинку Коха бесконечной длины».[1]б) Алгебраические фракталы
Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных функций (функций, аргументы которых очень сильно влияют на ее значение). Очень малое изменение аргументов приводит к сильному изменению значения функции. Наиболее хорошо известны функции двух аргументов (например, x,y). В этом случае, если сопоставить со значениями этой функции различные цвета - мы получим фрактальную картинку в этих координатах. Из подобных фракталов наиболее хорошо известен фрактал Мандельброта.
Алгебраические фракталы тесно связаны с рядом физических нелинейных систем (систем, поведение которых очень чувствительно к малейшему изменению некоторых параметров). Геометрический объект, описывающий такие системы, называется странным аттрактором. Рассмотрим странные аттракторы подробнее.
в) Аттракторы. Странные аттракторы.
Пусть имеется нелинейная динамическая система, обладающая несколькими устойчивыми состояниями. Примером такой системы может быть магнитик на нитке, в случае если сбоку прикреплен еще один магнит. Магнитик может повиснуть в нижней точке, а может зависнуть сбоку, притягиваясь ко второму магниту. В таком случае у данной системы имеется два устойчивых состояния. Каждое из этих устойчивых состояний называется аттрактором. Математическое определение аттрактора следующее:
Аттрактор (англ. attract — привлекать, притягивать) — компактное подмножество фазового пространства динамической системы, все траектории из некоторой окрестности которого стремятся к нему при времени, стремящемся к бесконечности.
Фазовое пространство динамической системы:
○ Система - это какие-либо тела, которые мы назвали системой.
○ Точка фазового пространства – набор характеристик системы, которые полностью эту систему описывают.
○ Фазовое пространство – совокупность всех возможных наборов характеристик системы.
Каждый аттрактор обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в него. В нашем примере имеется две области: если отпустить магнитик в одной области он притянется к одному аттрактору, если в другой - он притянется к другому. Если добавить еще два значения начальной скорости магнитика, мы получаем четырехмерное фазовое пространство, имеющее также две области притяжения к одному и другому аттрактору.
Таким образом, фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы.
Приведем еще один аттрактора.
Имеется шарик на пружинке. Его движение определяется только двумя числами характеризующими начальное состояние системы: растяжением пружинки и скоростью шарика. В этом случае фазовое пространство имеет два измерения: длину пружинки и скорость шарика. Аттрактором в этом случае будет точка 0,0, т.е. пружинка не растянута, а скорость равна нулю.
Странный аттрактор — это аттрактор, имеющий два существенных отличия от обычного аттрактора: траектория движения у такого аттрактора непериодическая (она не замыкается), режим функционирования неустойчив (малые отклонения нарастают).
Динамика на странных аттракторах часто бывает хаотической: прогнозирование траектории, попавшей в аттрактор, затруднено, поскольку малая неточность в начальных данных через некоторое время может привести к сильному расхождению прогноза с реальной траекторией. Непредсказуемость траектории в динамических системах называют динамическим хаосом. Это явление также называют эффектом бабочки, подразумевая возможность преобразования слабых турбулентных потоков воздуха, вызванных взмахом крыльев бабочки в одной точке планеты в мощное торнадо на другой её стороне вследствие многократного их усиления в атмосфере за некоторое время.
Область притяжения к странному аттрактору является фрактальным объектом.
Попытаемся разобраться, почему возникает фрактальность областей притяжения к странным аттракторам. Разберемся для этого со следующим примером:
«Если раскачивать металлический маятник над тремя магнитами, лежащими в вершинах правильного треугольника симметрично от точки подвеса магнита и отмечать разными цветами области притяжения к каждому из них, то непосредственно вокруг самих магнитов будет область, полностью залитая цветом, соответствующим его области притяжения. Но если мы также попробуем точно определить границы областей притяжения, то у нас это не получится. Области притяжения на границах будут смешаны так, что в зоне притяжения одного магнита окажется участок области притяжения другого, в нём небольшой участок притяжения снова к первому. Мы обнаружим и такие участки, где все три цвета бесконечно перемешаны, так что там невозможно найти область притяжения одного магнита, которая не соприкасалась бы с зонами притяжения обоих других магнитов одновременно. Границы притяжения между магнитами будут фрактальны».[2]