Задачи а: Ввести понятие «золотое сечение» (немного об истории). Алгебраическое нахождение «золотого сечения», геометрическое построение «золотого сечения». Рассмотреть применение «золотого сечения» в (стр. 2 из 3)

Чем же интересен этот символ с точки зрения математики?

Построим сначала правильный пятиугольник. Это легко сделать с помощью описанной окружности. Из её центра надо последовательно отложить углы с вершиной в центре окружности, рав360/5=72⁰ , стороны углов пересекут окружность в точках А, В,С, D, Е. Соединив их последовательно, получим правильный пятиугольник. А теперь проведем в этом пятиугольнике все диагонали. Они образуют правильный звездчатый пятиугольник, т. е. знаменитую пентаграмму (рис. 2).

рис.2

Интересно, что стороны пентаграммы, пересекаясь, образуют снова правильный пятиугольник, в котором пересечение диагоналей дает нам новую пентаграмму, а в пересечении её сторон мы снова видим правильный пятиугольник, открывающий возможность построения новой пентаграммы. И так далее до бесконечности.

Пентаграмма представляет собой вместилище «золотых пропорций».

При п = 5 имеем 180°× 3 : 5 = 108°.

В пятиугольнике ABCDE, Ð1 = 108°:3 = 36°. Теперь рассмотрим пентаграмму на рис. 3. Соединим в ней точки К и F. Выше уже отмечалось, что пятиугольник KLFPM - правильный, т. е. угол KLF = 108°. Тогда Ðl = Ð2 = 36°. Но угол Е тоже равен 36°. Из того что Ð1 = ÐE, следует, что ЕС параллельна KF, а тогда ΔВЕР подобен ∆BKF,

ЕВ : KB = РВ : FB. (1)

Обозначим ЕВ = а и KB = х, перепишем пропорцию (1) иначе:

а : х = х:(а - х), или х² + ах - а²= 0. Мы получили то же самое уравнение, решением которого является х =

Значит, KB: ЕВ =j.

Рис.3

«Золотая пропорция» и связанные с нею отношения.

Применение «золотой пропорции» часто сводится к построению отрезка длиной Ф =

. Это число является обратным по отношению к числу j. В самом деле:

Естественно поставить вопрос о том, как построить отрезок длиной Ф.

Построение:

а) отложим отрезок АВ = 1; из точки В восстановим перпендикуляр к отрезку АВ и отложим на нем отрезок ВС = 1;

б) разделим отрезок АВ пополам точкой О,

ОС=

в) из точки О проведем окружность радиусом

, пересекающую луч АВ в точке D, AD=j.

Ранее было доказано, что j² = 1 - j. Теперь докажем, что Ф²= 1+j

Доказательство. С одной стороны,

=

С другой стороны, Ф+1=

Ф² =Ф + 1.

«Золотое сечение» и «золотая спираль» в живой природе

Красота природных форм рождается во взаимодействии двух физических сил - тяготения и инерции. «Золотая пропорция» - символ этого взаимодействия, поскольку диктуемое ею отношение большей части целого к самому целому выражает основные моменты живого роста: стремительный взлет легкого юного побега до зрелости и замедленный рост «по инерции» до момента цветения, когда достигшее полной силы растение готовится дать жизнь новому побегу.

Одним из первых проявления «золотого сечения» в природе подметил разносторонний наблюдатель, автор многих смелых гипотез немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер (1571-1630). С XVII в. наблюдения математических закономерностей в ботанике и зоологии стали быстро накапливаться.

Приведем один из сравнительно недавно установленных фактов. В 1850 г. немецкий ученый А. Цейзинг открыл так называемый закон углов, согласно которому средняя величина углового отклонения ветки растения равна примерно 138°.

Представим себе, что две соседние ветки растения исходят из одной точки (на самом деле это не так: в реальности ветви располагаются выше или ниже друг от друга). Обозначим одну из них через ОА, другую через ОВ. Угол между лучами-ветками обозначим через a, а угол, дополняющий его до 360°, - через b. Составим «золотую пропорцию» деления до полного угла, считая, что угол В - большая часть этой величины:

360:b = b:(360-b).

Отсюда получаем уравнение b² + 360b - 360² = 0 и находим положительный корень b=-180+

=222,48.

Тогда a = 360° - 222, 48° = 137,52°

138°.

Таким образом, величина среднего углового отклонения ветки соответствует меньшей из двух частей, на которые делится полный угол при «золотом сечении».

Рассмотрим теперь расположение семечек в корзинке подсолнуха. Они выстраиваются вдоль спиралей, которые закручиваются как слева направо, так и справа налево. В одну сторону закручено 13 спиралей, в другую - 21. В более крупных соцветиях подсолнечника число соответствующих спиралей 21 и 34 или 34 и 55. Похожее спиральное расположение наблюдается у чешуек сосновых шишек или ячеек ананаса. В верхушках очень многих побегов можно различить такие же системы спиральных рядов.

Число рядов листьев или цветков, ориентированных противоположно, отличается у разных растений, но чаще всего принимает следующие значения:

=0,5; =0,666…; =0,6; =0,625…, =0,615…, =0,619047…,

=0,617977…, =0,518055…

Начиная со второго члена этого ряда, в нем повторяется число j, с каждым новым шагом выражаемое всё более точно: j = = 0,618033...

Логарифмическая спираль (рис. 6) единственная из спиралей не меняет своей формы при увеличении размеров. Видимо, это свой ство