Числа Фибоначчи и Золотое сечение (стр. 2 из 2)

[12]Теорема. Соседние числа Фибоначчи взаимно просты.

Возьмем два соседних числа. Например, u₅ = 5 и u₆ = 8.

Пусть вопреки утверждению теоремы 5 и 8 имеют некоторый общий делитель d> 1. Тогда и их разность 8 - 5 будет делиться на d. А так как 8 — 5 = 3(u₄), на d должно делиться и 3. Числа 8 и 5 не имеют общего делителя.

Имеет место равенство (u_m , u_n)= u_(m,n) .

[13]О делимости чисел Фибоначчи можно судить, рассматривая делимость их номеров. Рассмотрим, несколько «признаков делимости» чисел Фибоначчи. Под признаком делимости мы понимаем здесь признак, по которому можно определить, делится или нет то или иное число Фибоначчи на некоторое данное число.

Число Фибоначчи четно тогда и только тогда, когда его номер делится на 3.

Число Фибоначчи делится на 3 тогда и только тогда, когда его номер делится на 4.

Число Фибоначчи делится на 4 тогда и только тогда, когда его номер делится на 6.

Число Фибоначчи делится на 5 тогда и только тогда, когда его номер делится на 5.

Число Фибоначчи делится на 7 тогда и только тогда, когда его номер делится на 8.

Число Фибоначчи делится на 16 тогда и только тогда, когда его номер делится на 12. Доказательства всех этих признаков делимости и всех других, подобных им, легко могут быть проведены читателем при помощи предложения, приведенного в начале этого пункта, и рассмотрения соответственно третьего, четвертого, пятого, шестого, восьмого, двенадцатого и т. д. чисел Фибоначчи. Пусть заодно читатель докажет, что не существует чисел Фибоначчи, дающих при делении на 8 в остатке 4, а также, что нет нечетных чисел Фибоначчи, делящихся на 17.

[14]Рассмотрим следующее свойство: Если число Фибоначчи имеет нечетный номер, то все его нечетные делители имеют вид 4t+1.

Вернемся к нечетным номерам рассматриваемой последовательности чисел Фибоначчи.

№ п-п	5	7	11	13	17	19	23
Числа	5	13	89	233	1597	4181	28657
4t+1	5:4= 1+1	13:4=3+1	89:4=22+1	233:4=58+1	1597:4=399+1	4181:4=1045+1	28657:4=7164+1

Вывод: свойство верно

[15]Теорема. Всякое натуральное число разлагается на простые множители лишь одним способом.

§ 3. ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ И ГЕОМЕТРИЯ

[16]Последовательность Фибоначчи стремится к постоянному соотношению. Это отношение иррационально, представляет собой число с бесконечной последовательность десятичных чисел в дробной части. Члены последовательности связаны между собой соотношениями. Если член последовательности разделить на предшествующий ему, то величина будет колебаться примерно Ф = 1,618. Число Фи. При делении каждого числа Фибоначчи на последующее отношение стремится к 0,382. Эти соотношения называются фибоначчиевыми коэффициентами. Золотое сечение не проходится в школьном курсе математики, поэтому оно известно далеко не всем. Золотое сечение с древности рассматривалось, как эстетически самое благоприятное отношение. Через Золотое сечение числа Фибоначчи проявляют свои свойства. Посколько целое всегда состоит из частей, то части находятся в определенном отношении к друг другу и к целому. Принц Золотого сечения – это принцип гармоничной пропорции. Рассмотрим пример деления отрезка:

1. Разделим отрезок АВ единичной длины на две части точкой C так, чтобы большая из его частей являлась средним пропорциональным между меньшей его частью и всем отрезком. Обозначим искомую длину большей части отрезка через х. Тогда условие нашей задачи дает пропорцию:

Положительным корнем является

. Получаем, что отношения в пропорции равны ( ). Это деление и есть Золотое сечение или деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Отрезки Золотой пропорции выражаются бесконечными и рациональными дробями b = 0,618; a = 0,382. Числа 0,618: 0,382 – коэффициенты последовательности Фибоначчи. На этой последовательности базируются все геометрические фигуры.

Рассмотрим правильный пятиугольник.

[17]Можно доказать, что точка С делит отрезок AD золотым сечением. То есть: . Таким образом, среди отрезков ВС, АВ, AC, AD каждый последующий в α раз больше предыдущего.

Рассмотрим прямоугольник, у которого отношение сторон равно α. Такие прямоугольники будем называть прямоугольниками золотого сечения. Можно доказать, что, вписав в такой прямоугольник наибольший возможный квадрат, мы снова получим прямоугольник золотого сечения.

Можно говорить и о треугольниках золотого сечения: остроугольном — с углами 36°, 72° и 72° и тупоугольном— с углами 108°, 36° и 36°. Интересно, что остроугольный треугольник золотого сечения разбивается на меньшие три треугольника золотого сечения. Соотношение длины боковой стороны к длине основания такого треугольника равно 1,618.

В Природе мы часто видим, что расположение предметов можно описать соотношениями чисел Фибоначчи и соответствующими величинам Золотого деления. Например, это спирально закрученные раковины и спиралевидная паутина, и спирально закрученный торнадо, и спиралевидная молекула ДНК.

Числа спиралей того и другого типов часто оказываются соседними числами Фибоначчи.

Золотое сечение применяли художники и архитекторы, астрономы описывали закономерности планет солнечной системы.

Числа Фибоначчи появляются также в вопросах, связанных с исследованием путей в различных геометрических конфигурациях.

Заключение

Изучив и проанализировав первоисточник Н.Н.Воробьева «Числа Фибоначчи», а так же дополнительную литературу я пришла к следующим выводам:

1) Все в природе подчиняется цикличности и закономерности, которую можно объяснить при помощи последовательности Фибоначчи и Золотого сечения.

2) Изучение свойств последовательности Фибоначчи позволяет применять ее для решения многих практических и теоретических задач в различных сферах деятельности человека

3) Многие свойства чисел Фибоначчи до конца не изучены.

[1] Воробьев Н.Н. «Числа Фибоначчи», М: Наука 1978.

[2] Там же

[3] Там же

[4] Воробьев Н.Н. «Числа Фибоначчи», М: Наука 1978.

[5] Там же

[6] Там же

[7] Там же

[8] Там же

[9] Там же

[10] Там же

[11] Там же

[12] Там же

[13] Там же

[14] Там же

[15] Там же

[16]Фибоначчи. [Электронный ресурс]. Числа Фибоначчи. Режим доступа: http://forexaw.com Свободный. Данные соответствуют – 01.05.2012г.

[17] Воробьев Н.Н. «Числа Фибоначчи», М: Наука 1978.