ГОУ Гимназия №1505
«Московская городская педагогическая гимназия-лаборатория»
Реферат
Числа Фибоначчи и Золотое сечение
автор: ученица 9 класса «Б»
Карпова Анастасия
Руководитель: Шалимова М.Н.
Москва
2012
Содержание
Введение………………………………………………….……………...2
Глава 1
Свойства Чисел Фибоначчи.………………………………..……...........4
Глава 2
Теоретико-числовые свойства чисел Фибоначчи………...…...……………………………………..…..............7
Глава 3
Числа Фибоначчи и геометрия…………………………………………..9
Заключение…………………………………………………...………….12
Список литературы……………………………………………………..13
Введение.
Из школьного курса математики хорошо известны такие ученые, как Евклид, Архимед и Герон.
Если же мы обратимся к математике средневековья, то не обнаружим такого большого количества выдающихся математических деятелей. Это связано с тем, что математика в эту эпоху развивалась крайне медленно.
Однако стоит обратить внимание на сочинение “Liber abacсi”, написанное знаменитым итальянским математиком Леонардо Фибоначчи в 1202 году, которое дошло до нас в издании от 1228 года. В данной книге содержатся почти все арифметические и алгебраические сведения того времени. Данная работа сыграла большую роль в развитии математики в Западной Европе в течение нескольких следующих столетий.
Данный трактат примечателен тем, что материал поясняется на большом числе интересных математических задач. Обратимся к одной из задач, разобранной в этой книге.
[1]Исходная формулировка задачи – «Сколько пар кроликов в один год от одной пары рождается?» Рассмотрим предлагаемое автором решение. Представим, что некто поместил пару кроликов в огороженном со всех сторон месте и хочет узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года. По условию задачи природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения. Проведем мысленный эксперимент и узнаем, сколько пар кроликов будет в каждом последующем месяце. Так как первая пара в первом месяце даст потомство, то всего будет 2 пары, причем первая пара рождает и в следующем месяце. То есть во втором месяце окажется три пары и две из них в следующем месяце дадут потомство. Получится, что в третьем месяце будет пять пар кроликов и три пары дадут потомство в следующем месяце. То есть в четвертом месяце будет 8 пар кроликов, и пять из них будут давать потомство. Это значит, что в пятом месяце будет 13 пар, из которых 8 дадут потомство в следующем месяце. Проведя аналогичные рассуждения, получим, что в шестом месяце будет 21 пара, в седьмом 34 пары, в восьмом 55 пар, в девятом 89 пар, в десятом 144 пары, в одиннадцатом 233 пары, в двенадцатом 377 пар – столько пар произвела первая пара в данном месте к концу одного года. Можно заметить, что число пар кроликов в текущем месяце равняется сумме пар кроликов за два предшествующих месяца.
Математически решение этой задачи приводит к появлению последовательности чисел
[2]u1, u2, … un
в которой каждый член равен сумме двух предыдущих, то есть для любого n>2
[3]un= un-1+ un-2
Эта последовательность была названа числами Фибоначчи. В школьном курсе математики не изучаются числа Фибоначчи, поэтому возникает вопрос: какие это числа и какими свойствами они обладают? Поэтому я поставила следующие задачи:
1) Проанализировать в чем состоят свойства чисел Фибоначчи
2) возможности их применения к решению задач.
Для того чтобы получить сведения по данным вопросам, я выбрала и проанализировала первоисточник: книгу Н.Н.Воробьева «Числа Фибоначчи».
§ 1. СВОЙСТВА ЧИСЕЛ ФИБОНАЧЧИ
В первой главе описываются простейшие свойства чисел Фибоначчи. Зная особенности суммарной последовательности Фибоначчи ученые смогли выяснить, что им подчиняются многие особенности жизни, времени, деятельности человека. В законах природы, как и в законах математики имеется важнейший элемент – ритмичность. Свойства чисел последовательности используются не только в математике и физике, но и в природе, архитектуре, биологии, астрономии, изобразительном искусстве. При помощи этих чисел описываются разнообразные процессы во вселенной. Свойства чисел последовательности Фибоначчи, сделал их основой технического анализа. Я изучила простейшие свойства чисел Фибоначчи и проверила их верность на примерах. Рассмотрим некоторые из них:
1. Сумма первых n чисел Фибоначчи равна:
[4]u1 + u2 +… + un = un+2 – u2
где u2 = 1
Рассмотрим это на простейшем примере. Пусть n = 5, тогда:
u1 = 1; u2 = 1; u3 = 2; u4 = 3; u5 = 5; un+2 = 13
1 + 1 + 2 + 3 + 5 = 13 - 1
12=12 Свойство верно
2. Сумма чисел Фибоначчи с нечетными номерами равна:
[5]u1 + u3 + u5… + u2n-1 = u2n
Например, n = 5, тогда:
u1 = 1; u3 = 2; u5 = 5; u7 = 13; u2n-1= 34; u2n = 55
1 + 2 + 5 + 13 + 34 = 55
55 = 55 Свойство верно
3. Сумма чисел Фибоначчи с четными номерами равна:
[6]u2 + u4 + … + u2n = u2n+1 – 1
Например, n = 5, тогда:
u2 = 1; u4 = 3; u6 = 8; u8 = 21; u2n= 55; u2n+1 = 89
1 + 3 + 8 + 21 + 55 = 89 - 1
88 = 88 Свойство верно
4. Формула суммы квадратов первых n чисел Фибоначчи выглядит так:
[7]u12 + u22 +… + un2 = unun+1
Например, n = 5, тогда:
u12 = 1; u22 = 1; u32 = 4; u42 = 9; un2 = 25; un = 5; un+1 = 8
1 + 1 + 4 + 9 + 25 = 5 * 8
40 = 40 Свойство верно
5. [8]Соотношения между числами Фибоначчи удобно доказывать при помощи метода полной индукции. Сущность метода заключается в том, что для доказательства, что некоторого утверждения справедливого для всякого натурального числа достаточно двух условий
А) Утверждение имеет место для числа 1
Б) Из справедливости доказываемого утверждения для произвольного числа n, следует его справедливость для числа n+1.
Иногда применяется индуктивное рассуждение, которое можно назвать переходом «от всех чисел, меньших n, к n». Именно таким является доказательство возможности разложения любого натурального числа на простые множители.
6. Простейшей реализацией идеи индукции в применении к числам Фибоначчи является само определение чисел Фибоначчи. Оно состоит в указании двух первых чисел Фибоначчи: u1= 1 и u2 = 1 и в индуктивном переходе от un и un+1 к un+2, даваемым рекуррентным соотношением
un + un+1 = un+2,
Отсюда автоматически следует, что если некоторая последовательность чисел начинается с двух единиц, а каждое из следующих получается
сложением двух предыдущих, то эта последовательность является последовательностью чисел Фибоначчи.
7. Аналогично только что доказанным свойствам чисел Фибоначчи можно установить еще и такие свойства этих чисел:
[9]u1u2 + u2u3 + u3u4+ …+ u2n - 1u2n = u22n
u1u2 + u2u3 + u3u4+ …+ u2n+1u2n = u22n+1 – 1
nu1 + (n-1)u2 +(n-2) u3+ …+2un – 1+ un = un+4 - (n-3)
u1 + 2u2 + 3u3 + …+ nun = nun+2 – un+3+2.
8. [10]Любое число Фибоначчи можно определить и непосредственно, как некоторую функцию его номера. для этого исследуют различные последовательности u1, u2, ..., un, ..., удовлетворяющие соотношению
un= un-2 + un-1
9. Числа Фибоначчи могут составить основу своеобразно «фибоначчисвой» системы счисления, т. е., представления любого натурального числа а в виде некоторой последовательности «цифр» ф1ф2 .. .фг.
Рассмотренные мною свойства являются не всеми свойствами занимательных чисел, они требуют более глубокого знания математики.
§ 2. ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ СВОЙСТВА ЧИСЕЛ ФИБОНАЧЧИ
Вторая глава рассматривает свойства чисел Фибоначчи, касающиеся их делимости.
Если существует хотя бы одно число Фибоначчи un делящееся на m, то таких делящихся на m чисел Фибоначчи можно найти сколь угодно много. Ими будут, кроме un, например, числа u2n, u3n., u4n…
Оказывается, что по заданному числу m можно найти хотя бы одно делящееся на него число Фибоначчи. Это доказывает следующая теорема: [11]Каково бы ни было целое число m, среди первых m2—1 чисел Фибоначчи найдется хотя бы одно, делящееся на m. Эта теорема не утверждает ничего о том, какое именно число Фибоначчи разделится на m. Она говорит только, что первое число Фибоначчи, делящееся на m, не должно быть особенно большим. Рассмотрим справедливость этой теоремы на конкретном примере. Пусть m = 5, тогда m2—1 = 24, то есть n = 24
| № п-п | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Числа | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 |
| № п-п | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |
| Числа | 233 | 377 | 610 | 987 | 1597 | 2584 | 4181 | 6765 | 10946 | 17711 | 28657 | 46368 |
Вывод: Приняв за m число 5. Из 24 чисел последовательности Фибоначчи на m делится 4 числа. Теорема верна.