Отчет _32_ с.
сПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ, МЕТОДЫ ГОМОГЕНИЗАЦИИ, пСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ, рАЗНОСТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ, кВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ, дИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН,
раЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ, СУПЕРИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ, нанотрубки, нанопроволоки
Объектом исследований второго этапа проекта являются задачи квантовой физики и физики распространения волн и математические и вычислительные методы их решения. Целью работы на втором этапе является разработка методов усреднения (гомогенизации) для решений эллиптических уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами. Применение методов гомогенизации к решению задач рассеяния для операторов Шредингера с быстро осциллирующими потенциалами. Разработка математических методов исследования уравнений движения электронов в нановолноводах. Решение актуальных задач рассеяния электромагнитных волн на конусообразных рассеивателях. Разработка методов решения спектральных задач для почти периодических операторов. Разработка методов решения задач квантовой теории рассеяния для нескольких частиц и их приложение в атомной и молекулярной физике.
Работы проведены с помощью хорошо зарекомендовавших себя методов математической и вычислительной физики, спектрального анализа операторов. В ряде случаев разработаны новые методы исследования.
Результатами второго этапа являются: метод гомогенизации и его применение к решению эллиптических и параболических задач с быстро осциллирующими коэффициентами; метод построения матриц рассеяния для движения электронов в нановолноводах, основанный на асимптотических разложениях решений; описание рассеяния плоской электромагнитной волны на конических рассеивателях; развитие метода монодромизации для решения почти периодических разностных уравнений; развитие методов квантовой теории рассеяния и метода комплексного скейлинга для решения кулоновской задачи рассеяния; развитие методов би-гамильтоновой геометрии для построения переменных разделения для семейства интегрируемых систем на сфере с интегралом кубической степени по импульсам.
Теоретические результаты работы внедрены в лекционные курсы физического факультета СПбГУ.
На основе полученных результатов по исследованию движения электронов в нановолноводах могут быть разработаны квантовые резонаторы, основанные на волноводах с деформированными стенками. Они могут найти приложения как элементы устройств наноэлектроники (монохроматоры энергии электронов, ключевые устройства, усилители).
Предполагается, что на последующих этапах выполнения проекта будут получены новые важные результаты и разработаны новые математические методы для решения актульных задач квантовой физики, физики наноситем, физики распространения волн в различных средах.