«Расчет электрических фильтров» выполняется студентам (стр. 4 из 14)
По расположению полос частот пропускания (ПП) и задерживания (ПЗ) фильтры разделяются на ФНЧ, ФВЧ, ПФ и РФ.
Ослабление полиномиального фильтра (т.е. его АЧХ) является
 |
четной функцией нормированной частоты вида
Здесь |H(jW)| - модуль передаточной функции фильтра.
 |
Если An-1=An-2=…=A1=0, а A0=An=1, то
| (8) |
где
.2.1.5.1. Фильтры Баттерворта
 |
Для полиномиальных фильтров с характеристикой Баттерворта принято частоту
нормировать по частоте 
, при которой 
уменьшается до 1/Ö2 = 0,707 относительно максимального значения Н(0)=1, т.е. когда ослабление составляет 3 дБ. При этом А0=1 и | (9) |
Такие фильтры называются фильтрами с максимально плоской характеристикой ослабления в ПП или фильтрами с характеристиками Баттерворта.
Передаточные функции этих фильтров определяются по формуле
| (10) |
 |
1
0,707 n=2 n=4
n=4 n=2
DА
0 1
0 
a) б)
Рис.4. Зависимость модуля передаточной функции H(Ω) и ослабления A(Ω) от порядка фильтра Баттерворта
На рис.4а приведены графики частотной зависимости модуля передаточной функции
таких фильтров для двух значений n при ослаблении на границе полосы пропускания DА=3 дБ на уровне W=1, а на рис.4,б - кривые ослабления для тех же n.Ослабление в этом случае определяется по формуле (9).
 |
Если по условиям задачи ослабление в ПП на его граничной частоте
не должно превышать некоторой величины DА, не равной 3 дБ, то нормирующая частота 
вычисляется по формуле  |
| для ФНЧ (11,а) |
| для ФВЧ (11,б) |
а ослабление рассчитывается по формуле
. (12)
Передаточная функция ФНЧ Баттерворта в нормированных величинах имеет вид
, (13)где
– полином Гурвица, а 
.Нули полинома Баттерворта рассчитывают по формулам
при n - четных
; (13,а)при n - нечетных
. (13,б)В этих формулах k = 1, 2, ... 2n. Из этих 2n значений надо выбрать те n значений, которые для
имеют отрицательные вещественные части. Произведение сомножителей ( 
), соответствующих всем с отрицательными вещественными частями, образует полином 
. (14)2.1.5.2. Фильтры Чебышева имеют равномерно-колебательную характеристику в ПП и монотонное возрастание в ПЗ. Для таких фильтров квадрат модуля передаточной функции
, (15)где
– полином Чебышева степени n, он является четным или нечетным.  |
Передаточная функция ФНЧ Чебышева имеет вид
| (16) |
Здесь произведение всех
также полином Гурвица.Полюсы передаточной функции фильтра Чебышева, расположенные в левой полуплоскости, рассчитываются по формулам
 |
| (17) |
Оптимальные свойства чебышевской аппроксимации заключаются в том, что из всех передаточных функций, все полюсы которых лежат в бесконечности, функция Чебышева имеет наименьшую сложность при заданной неравномерности в полосе пропускания и наибольшую крутизну ослабления при переходе к ПЗ.
Фильтры Чебышева целесообразно использовать в тех случаях, когда наиболее важным является равномерное прохождение частот во всей полосе пропускания. Однако эти фильтры обладают существенной нелинейной фазовой характеристикой, а, следовательно, и непостоянным временем задержки.
Зависимости модуля передаточной функции от нормированной частоты для фильтра Чебышева для n нечетного и четного приведены на рис. 5.
Ослабление фильтра Чебышева определяют по формуле
, (18)где
- полином Чебышева степени n, 
ε – коэффициент неравномерности, который связан с r-коэффициентом отражения на границе полосы пропускания соотношением(19)
H(f)1 1
n=5 n=6
0
0 Рис. 5. Зависимость модуля передаточной функции от порядка фильтра
Так, например, для r = 0,1 DA = 0,044дБ; для r = 0,15 DA = 0,099дБ.
На рис. 6,а,б приведены соответствующие кривые ослабления ФНЧ для n нечетного и четного; на рис. 6в - для ПФ при n = 3.
A A An=5 n=6
DA DA0 1 W 0 1 W 0 W-1 W0 W1 W
а) б) в)
Рис. 6. Кривые ослабления для четного и нечетного порядков фильтра
2.2. Порядок расчета полиномиальных LC-фильтров табличным методом
1. Определяется нормированная граничная частота WS ПЗ ФНЧП, т.е. исходные данные рассчитываемого фильтра преобразуются в низкочастотный прототип в соответствии с формулами табл. 4.
Таблица 4
Определение нормированной граничной частоты ПЗ ФНЧП
| Тип фильтра | ФНЧ | ФВЧ | ПФ | РФ |
| WS |  |  |  |  |
В таблице 4 обозначены: