«Расчет электрических фильтров» выполняется студентам (стр. 6 из 14)

Если обозначить

, (29)

то

. (30)

В ряде случаев формулу (28) удобно представить в ином виде, если вместо сопротивлений и емкостей ввести их отношение

.

Тогда

. (32)

При

(33)

операторная передаточная функция равна

. (34)

2.4.1. Синтез ARC звена ФНЧ второго порядка по Баттерворту

Передаточная функция ФНЧ второго порядка с плоской характеристикой в нормированной форме имеет вид

. (35,а)

Передаточная функция цепи (рис.8) второго порядка в операторной форме выражается формулой (28) или (32).

Для перехода от нормированных величин s к реальным p следует осуществить замену

. Тогда формула (35) примет вид

. (35,б)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной p знаменателей функции (35) и (32) , будем иметь систему уравнений:

, (36,а)

или

, (36,б)

. (37)

Эта система содержит пять неизвестных R₂, C₂, m_R, n_C, k. Задаваясь значениями трех из них, находим R₂ и k.

2.4.2. Синтез ARC звена ФНЧ второго порядка по Чебышеву

Передаточная функция ФНЧ второго порядка (n=2) c равноколебательной характеристикой зависит от ослабления

в полосе пропускания и полюсов ослабления передаточной функции. Последние зависят от и порядка фильтра n. Передаточная функция по Чебышеву для n = 2 в нормированных величинах имеет вид

. (38)

При n - четном

и являются комплексно-сопряженными величинами

и передаточная функция будет иметь вид

. (39)

Преобразуем выражение (39) так, чтобы свободный член в знаменателе был равен единице, и получим

. (40)

Заменив в (40)

на , где для фильтра Чебышева , и введя для сокращения обозначения

, (41,а)

, (41,b)

, (41,с)

получим передаточную функцию

(42)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях p знаменателей выражений (42) и (32), получим два компонентных уравнения

; (43)

. (44)

Эта система содержит пять неизвестных величин R₂, С₂, m_R, n_C, k, а уравнений имеется только два. Задаваясь тремя дополнительными условиями, находим остальные две неизвестные величины.

2.5. Каскадный синтез полиномиальных ARC ФНЧ

высокого порядка на базе ИНУН

При реализации фильтров высокого порядка наибольшее применение имеют каскадно-развязанное соединение звеньев второго порядка. Такое соединение обеспечивается при весьма высоких входных и малых выходных сопротивлениях. Важным преимуществом каскадно-развязывающей реализации является возможность проводить независимую подстройку каждого звена фильтра. Кроме того, это почти всегда приводит к фильтровым структурам, обладающим меньшей чувствительностью к изменениям параметров по сравнению с фильтрами непосредственной реализации.

Порядок расчетов фильтра

1. Определяется нормированная граничная частота ПЗ ФНЧП по формуле

.

2. По формуле (23) для фильтра Баттерворта и по формуле (24) для фильтра Чебышева определяется порядок n ФНЧП.

3. Нормированная передаточная функция

рассматривается в виде произведения передаточных функций отдельных звеньев второго и первого порядков. Если n - четное число, то фильтр состоит из звеньев второго порядка. При n - нечетном в составе фильтра будет звеньев второго порядка и одно звено первого порядка, которое обычно включают на выходе фильтра. , (45)

где

- передаточные функции отдельных звеньев.

4. Определяются нормированные значения полюсов

передаточных функций второго порядка:

- для фильтра Баттерворта по формуле (13,а) или (13,б);

- для фильтра Чебышева по формуле (17).

5. Для каждой пары комплексно-сопряженных полюсов

и вычисляются выражения квадратного трехчлена

(46)

и соответствующее выражение передаточной функции звена второго порядка

. (47)

6. Путем замены

на выполняется денормирование передаточной функции звена второго порядка

. (48)

7. Приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях переменного p знаменателей передаточных функций (28) или (33) и (48), соответствующей схеме рис. 8 ARC-фильтра. Эта система из двух уравнений содержит пять неизвестных. Это означает, что она не имеет однозначного решения. Для их определения обычно задаются дополнительные условия. С учетом этого вычисляют остальные неизвестные.

Если порядок фильтра n - нечетный, то схема будет содержать одно звено первого порядка. Для него передаточная функция будет иметь вид

. (49)

Заменяя

на , получим . (50)

Схема звена ФНЧ первого порядка реализуется пассивной RC цепью (рис. 9). Ее передаточная функция равна

. (51)

Сравнивая свободные члены знаменателей в (50) и (51), получаем значения .

Рис. 9. Схема звена ФНЧ первого порядка.

3. Примеры расчетов электрических фильтров

3.1. Расчет ФВЧ Баттерворта

Рассчитать с использованием таблиц фильтр верхних частот Баттерворта, нагруженный двухсторонне по данным: граничная частота ПП

= 60 Гц, неравномерность характеристики ослабления в ПП не должна превышать =2 дБ, а при частотах = 30 Гц ослабление фильтра должно быть не менее =15 дБ, =75 Ом. Определить ослабление фильтра на частотах: 0,2 ; 0,5 ; ; ; .