Основные аспекты городской программы ипотечного кредитования. 6 Формулирование экономико-математической модели задачи (стр. 3 из 4)
Пусть годовая процентная ставка по ипотечному кредиту равна
, средний срок кредита 
. Из финансового анализа известно соотношение: 
(6), где 
– сумма кредита, 
– равный ежегодный платеж по кредиту.Период планирования равен
. Имеем в данном случае: 
, т.е. сумма платежей за кредит увеличивается с течением времени, и в нее включаются платежи по всем выданным УГАИК кредитам. Тогда для суммы платежей за кредит, используя (6), получаем следующее равенство: 
(7).Или распишем по составляющим:
(8); 
(9).Если
– средняя доля средств населения в стоимости покупаемой квартиры, то получаем следующее соотношение: 
(10)Подставляя (10) в (5), получаем:
(11)Выразим из (11) и (2) переменную
. Получаем: 
. (12)Качество протекающего в системе процесса зададим функционалом
, (*)где
, 
– некоторые неотрицательные числа.Выражение (*), являющееся критерием оптимальности процессов, состоит из двух слагаемых, отражающих два требования к процессу – эффективность как кредитования первичного, так и вторичного жилья. Числа
и являются весовыми коэффициентами. Если 
, то приоритет отдается первичному жилью, если 
– вторичному.Будем рассматривать в качестве характеристики происходящего в системе процесса пару
, считая 
состоянием системы, 
– управлением, а (3), (4) – уравнением процесса. Тогда множество 
допустимых процессов задается условиями (1), (2), (5) – (12).Статистически определили (см. Приложение1)
. Примем в дальнейших расчетах 
.2.2.3. Экономико-математическая модель.
С учетом всего вышеизложенного, сформулируем модель для нашей задачи – задачи оптимального управления.
Необходимо найти модель процесса
, оптимального в смысле .Уравнения процесса:
Система ограничений:
Условия неотрицательности:
, 
, 
, 
, 
. 
.3. Решение задачи.
3.1. Разработка метода решения задачи.
Сведем полученную задачу к задаче линейного программирования.
Рассмотрим
переменных (неизвестные):
, 
. (**)Они связаны следующими соотношениями (система ограничений):
Т.е. получили систему
линейных уравнений:
Известны значения переменных
.Условия неотрицательности:
, 
, , , .Необходимо найти
функции 
.Решим сформулированную задачу линейного программирования стандартным симплекс-методом (М-методом).
Примем
.3.2. Формирование исходных данных.
Исходными данными для полученной задачи будут числа
и известные значения переменных 
. Найдем их из реальных статистических данных – результатах деятельности УГАИК за 2000-2003 г.г.[15]Для значений
построим прогнозы на 2004-2010 г.г. Для построения точных прогнозов только реальных статистических данных недостаточно, поэтому характер изменения этих величин определим, исходя из мнения специалистов, отраженного в публикациях [11,12,14]. Так, эксперты считают, что строительная отрасль благодаря притоку капитала (и ипотеке в том числе) сегодня начинает развиваться, и предложение жилья будет с каждым годом расти. Значит, темпы роста цен удастся уменьшить, а в долгосрочной перспективе цены должны стабилизироваться. Что же касается бюджетных выплат, руководство УГАИК ведет переговоры о ежегодных поступлениях средств из бюджета в размере 100 000 тыс. руб. Полученные с помощью расчетов в данной работе значения соответствуют запросам УГАИК.Расчеты необходимых данных выполнены с помощью средств MS Excel и представлены в приложении 1.
3.3. Реализация метода.
Алгоритм симплекс-метода реализован в MS Excel в виде макроса на языке VBA. Необходимые для решения задачи исходные данные являются коэффициентами линейных уравнений, которые составляют систему ограничений.
Для реализации метода необходимо занести коэффициенты целевой функции и системы ограничений в ячейки листа «Задача», соответствующие каждой переменной из (**). Далее нужно запустить выполнение макроса.
Симплекс-процесс представлен на листе «Симплекс» в виде таблицы, результат записывается в лист «Ответ». Результатом вычислений является оптимальное значение целевой функции, вектор переменных, соответствующий этому значению. Также указывается, единственно ли решение.
Изменяя исходные данные, получаем различные результаты. Так, в данной работе рассчитано распределение инвестиций по городской программе в двух вариантах:
1) оптимистический, когда в течение ближайших 2-3 лет в строительной отрасли будет наблюдаться ощутимый подъем и цены на первичное жилье стабилизируются за этот период.
2) наиболее реальный, когда подъем в строительной отрасли растянется на более длительный срок (5-7 лет) и цены на первичное жилье будут расти более высокими темпами, примерно одинаковыми с темпами роста цен на вторичное жилье.