работа студента 417 группы Башевого К. В (стр. 2 из 2)
Пусть в момент времени t система находится в точке x (определенный узел ультраметрической решетки). Случайным образом выбирается уровень иерархии g и с вероятностью
реализуется переход через барьер g-ого уровня из точки 
в соответствующий бассейн состояний. Затем равновероятно выбирается любая точка 
, принадлежащая данному бассейну. Эта точка считается той точкой, в которую осуществился переход из начальной точки 
за единицу времени.Моделирование производилось для систем с r= γmax =20 уровнями иерархии и 220 числом состояний. Были исследованы три основных типа генераторов ультраметрической диффузии (три типа зависимости высоты барьеров от уровня иерархии): линейный, логарифмический и экспоненциальный.
Далее, проводилось моделирование двух вариантов одномерного случайного блуждания с ультраметричной временной последовательностью: модель с задержками и модель активных бассейнов. В модели с задержками временные интервалы определялись временами ожидания и статистикой прыжков между бассейнами состояний при ультраметрической диффузии. В данной задаче время задержки определялось как pγ.
В модели активных бассейнов изменения случайной величины происходили только в те моменты времени, когда «изображающая точка», блуждающая на ультраметрической решетке, попадала в определенные, наперед заданные узлы. В данной задаче эти узлы случайным образом распределялись по одному внутри каждого бассейна (одна точка в бассейн B1, следующая – в B2 и т.д.).
3.3. Задача спектральной диффузии и ее приложения
Спектральная диффузия используется для исследования свойств белков и других высокомолекулярных соединений и заключается в следующем. Пусть зафиксирован спектр поглощения молекулы белка (рис. 6а). Интенсивность той или иной частоты определяется наличием соответствующей конформации молекулы. Затем с помощью лазерного импульса некоторая конформация удаляется. Поэтому в спектре образуется провал в окрестности некоторой частоты, который называется дыркой (рис. 6б). Однако со временем эта дырка начинает расплываться, постепенно возвращаясь в первоначальное состояние. В эксперименте (в том числе и в компьютерном) исследуется величина дисперсии такого расплывания. При этом в эксперименте наблюдается аномальный закон дисперсии, что нельзя объяснить в терминах обычной диффузии.
Задача температурного цикла заключается наблюдении сразу за двумя дырками, одна из которых замораживается на некоторое время. В некоторый момент времени температура резко повышается и в этот же момент выжигается вторая дырка. Особенностью этой задачи является характерная задержка в эволюции дисперсии после повышения температуры, которая невозможна при описании процессом обычной диффузии.
Задача старения заключается в том, что в течение определенного времени ультраметрический процесс идет, но частица не двигается. По истечении этого времени запускается и второй процесс. При увеличении времени задержки на одинаковую величину в эксперименте наблюдались эквидистантные параллельные прямые.
3.4. Основные результаты
Характеристики случайных процессов, полученные в ходе компьютерного эксперимента, подтверждают поведение, предсказываемое аналитическими решениями и экспериментальными данными, изучен процесс выхода системы на различные режимы поведения в широком диапазоне изменения параметра высоты барьеров α.
1) На рис. 2 представлены графики зависимости среднего квадрата смещения частицы от времени в двойном логарифмическом масштабе для модели активных бассейнов. Наклон прямых в рабочем режиме лежит в пределах от 0,25 до 0,30. Этот результат наблюдается в многочисленных экспериментах по спектральной диффузии. Таким образом, теория ультраметрической диффузии дает правильное поведение системы в широком диапазоне температур на основании экспериментальных данных.
2) На рис. 3а показано распределение времен возврата частицы в начальную точку. Это решение так называемой задачи о распределении времен первого возврата. Аналогичные зависимости, которые показаны на рис. 3б, получены аналитически.
3) Разработанная в данной работе программа позволяет моделировать и изучать различные режимы, реализованные в исследованиях аномальной спектральной диффузии – режимы температурного цикла и старения. На рис. 4 показаны результаты компьютерного моделирования и экспериментальные данные в исследованиях по старению. Эквидистантность и параллельность прямых на начальном этапе и их дальнейшая сходимость позволяют говорить о том, что данные компьютерного эксперимента подтверждают предсказания теории ультраметрической диффузии и соответствуют эксперименту.
4) Результаты моделирования режима температурного цикла представлены на рис. 5. "Замораживание" роста дисперсии на начальной стадии аномальной спектральной диффузии является характерной особенностью при режиме температурного цикла. Именно такое поведение наблюдается и в эксперименте. Это наблюдение позволяет предположить, что ультраметрическая диффузия является более адекватной моделью динамики белковой макромолекулы, чем модель, основанная на обычной диффузии.
Из экспериментальных данных для модели с задержками следует зависимость между коэффициентом наклона прямолинейного участка распределения (Coef) от значения параметра α:
Подписи к рисункам:
Рис. 1. Схематическое изображение иерархического «дерева» состояний системы (точки на прямой) и барьеров между ними, определение бассейнов состояний и вероятностей переходов между ними.
Рис. 2. Графики зависимости среднего квадрата смещения частицы от времени в двойном логарифмическом масштабе
а б
Рис. 3. Распределение времен возврата: результаты моделирования (N=20) (а) и аналитическое решение (б)
а б
Рис. 4. Результаты моделирования процесса старения (а) и данные эксперимента (б)
Рис. 5. Результаты моделирования процесса температурного цикла
4. Выводы
1. В курсовой работе, согласно поставленной цели и выбранным задачам, разработан метод компьютерного моделирования процесса ультраметрической диффузии.
2. Проведено моделирование на трех основных типах генераторов ультраметрической диффузии: линейном, логарифмическом и экспоненциальном, использованы две модели одномерного случайного блуждания с ультраметричной временной последовательностью: модель с задержками и модель активных бассейнов.
3. Процесс моделирования проводился в рамках требований задач спектральной диффузии (задачи температурного цикла, старения, развития дисперсии), результаты сравнивались с аналитическими решениями и экспериментальными данными.
4. Полученные результаты дают правильное поведение системы в рамках предсказаний теории и соответствуют экспериментальным данным.
Приведенные выше результаты позволяют сделать о том, что в работе было успешно проведено компьютерное моделирование процесса ультраметрической диффузии, которое позволяет говорить о верности теоретической модели в ее приложении к задачам спектральной диффузии.
5. Литература
[1] V.A. Avetisov, A.H. Bikulov, S.V. Kozyrev, V.A. Osipov. “p-adic models of ultrametric diffusion constrained by hierarchical energy landscapes”, J. Phys. A:Math. Gen. 35 (2001) p.177
[2] R. Rammal, G. Toulouse, M.A. Virasoro, “Ultrametricity for physicists”, Reviews of Modern Physics, Vol. 58, No. 3, July 1986
[3] Alexander, S., J. Bernasconi, W. R. Schneider, and R. Orbach, 1981, Rev. Mod. Phys. 53, 175.
[4] Grossman, S., F. Wegner, and K. H. Hoffmann, 1985, J. Phys. Lett. (Paris) 46, L575.
[5] Kirkpatrick, S., C. D. Gelatt, Jr., and M. P. Vecchi, 1983, Science 220, 671.
[6] Mezard, M., G. Parisi, and M. A. Virasoro, 1985, J. Phys. (Paris) Lett. 46, L217.
[7] Ogielski, A. T., and D. L. Stein, 1985, Phys. Rev. Lett., 55, 1634.
[8] Paladin, G., M. Mezard, and C. De Dominicis, 1985, J. Phys. (Paris) Lett. 46, L985.