Применение геометрии (стр. 2 из 2)

ГЕОМЕТРИЯ У РЕКИ

Измерение ширины реки

Не переплывая реки, измерить её ширину – так же просто для знающего геометрию, как определить высоту дерева, не взбираясь на вершину. Непреступное расстояние измеряют теми же приёмами, какими мы измеряли недоступную высоту. В обоих случаях определение искомого расстояния, легко поддающегося непосредственному измерению.

Из многих способов решения этой задачи рассмотрим несколько наиболее простых.

1)Для первого способа понадобится уже знакомый нам «прибор» с тремя булавками на вершинах треугольника.. Пусть требуется определить ширину АВ реки (рис.10), стоя на том берегу, где точка В, и не перебираясь на противоположный. Став где-нибудь у точки С, держите булавочный прибор близ глаз так, чтобы, смотря одним глазом вдоль двух булавок, вы видели, как обе они покрывают точки В и А. Понятно, что, когда это вам удастся, вы будете находиться как раз на продолжении прямой АВ. Теперь, не двигая дощечки прибора, смотрите вдоль других двух булавок и заметьте точку D, покрываемую этими булавками, т.е. лежащую на прямой, перпендикулярной к АС. После этого воткните в точку С веху, покиньте это место и идите с вашим инструментом вдоль прямой СD, пока не найдёте на ней такую точку Е (рис.11), откуда можно одновременно покрыть для глаза булавкой b шест точки С, а булавкой а – точку А. Это будет значить, что вы отыскали на берегу третью вершину треугольника АСЕ, в котором угол С – прямой, а угол Е равен острому углу булавочного прибора, т.е. ½ прямого. Очевидно, и угол А равен – прямого, т.е. АС=СЕ. Если вы измерите расстояние СЕ хотя бы шагами, вы узнаете расстояние АС, а отняв ВС, которое легко измерить, определите искомую ширину реки.

Рис.8 Рис.9

Рис.10

2)Второй способ сходен с первым. Здесь также находят точку С на продолжении АВ и намечают при помощи булавочного прибора прямую CD под прямым углом к СА. Но дальше поступают иначе. (рис.12) На прямой СD отмеряют равные расстояния СУ и ЕF произвольной длины и втыкают в точки Е и F вехи. Став затем в точке F с булавочным прибором, намечают направление FG, перпендикулярное к FC. Теперь, идя вдоль FG, отыскивают на этой линии такую точку Н, из которой веха Е кажется покрывающей точку А. Это будет означать, что точки Н,Е и А лежат на одной прямой.

Задача решена: расстояние FH равно расстоянию АС, от которого достаточно лишь отнять ВС, чтобы узнать, искомую ширину реки.

Этот способ требует больше места, сем первый; если местность позволяет осуществить оба приёма, полезно проверить один результат другим.

Рис.11

3) Описанный сейчас способ можно видоизменить: отмерить на прямой СF не равные расстояния, а одно в несколько раз меньше другого. Например, (рис.13) отмеряют FE в четыре раза меньше ЕС, а далее поступают по-прежнему: по направлению FG, перпендикулярному к FC, отыскивают точку Н, из которой веха Е кажется покрывающей точку А. Но теперь уже FH не равно АС, а меньше этого расстояния в четыре раза: треугольники АСЕ и ЕFH здесь не равны, а подобны. Из подобия треугольников следует пропорция

АС:FH=СУ:УF=4:1.

Значит, измерив FH и умножив результат на 4, получим расстояние АС, а отняв ВС, узнаем искомую ширину реки.

Этот способ требует, как мы видим, меньше места и потому удобнее для выполнения, чем предыдущий.

4) Четвёртый способ основан на том свойстве прямоугольного треугольника, что если один из его острых углов равен 30', то противолежащий катет составляет половину гипотенузы. Убедиться в правильности этого положения осень легко. Пусть угол В прямоугольного треугольника АВС равен 30'; докажем, что в таком случае АС=1/2АВ. Повернём треугольник АВС вокруг ВС так, чтобы он расположился симметрично своему первоначальному положению (рис.14), образовав фигуру АВD; линия АСD – прямая, потому что оба угла у точки С прямые. В треугольнике АВD угол А=60', угол АВD, как составленный из двух углов по 30', тоже равен 60'. Значит, АD=BD как стороны, лежащие против равных углов. Но АС=1/2AD; следовательно, АС=1/2АВ.

Рис. 12 Рис. 13

Желая воспользоваться этим свойством треугольника, мы должны расположить булавки на дощечке так, чтобы основания их обозначали прямоугольный треугольник, в котором катет вдвое меньше гипотенузы. С этим прибором мы помещаемся в точке С (рис.15) так, чтобы направление АС совпадало с гипотенузой булавочного треугольника. Смотря вдоль короткого катета этого треугольника, намечают направление СD и отыскивают на нём такую точку Е, чтобы направление ЕА было перпендикулярно к СD. Легко сообразить, что расстояние СУ – катет, лежащий против угла 30', - равно половине АС. Значит, измерив СЕ, удвоив это расстояние и отняв ВС, получим искомую ширину АВ реки.

Вот четыре легко выполнимых приёма, при помощи которых всегда возможно, не переправляясь на другой берег, измерить ширину реки со вполне удовлетворительной точностью. Способов, требующих употребления более сложных приборов, мы здесь рассматривать не будем.

Реки в центре Новокузнецка.

Глубина пруда

У древних индусов был обычай задачи и правила предлагать в стихах. Вот одна из таких задач:

ЗАДАЧА

Над озером тихим,

С полфута размером, высился лотоса цвет.

Он рос одиноко. И ветер порывом

Отнёс его в сторону. Нет

Воле цветка над водой,

Нашёл же рыбак его ранней весной

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

Как озера вода

Здесь глубока?

РЕШЕНИЕ

Обозначим искомую глубину СD пруда через х. (рис. 16) Тогда, по теореме Пифагора, имеем:

BD²-х²=ВС², т.е. х²=(х+1/2)²-2², откуда х²=х²+х+1/4-4, х=3(3/4).

Искомая глубина – 3(3/4) фута.

Близ берега реки или неглубокого пруда вы можете отыскать водяное растение, которое доставит вам реальный материал для подобной задачи: без всяких приспособлений, не замочив даже рук, определить глубину водоёма в этом месте.

Рис.14

Заключение

Геометрия возникла на основе практической деятельности, поэтому важно знать как при помощи геометрии измерить некоторые величины.

Целью работы служит рассмотреть применение геометрии на практике.

Рассмотренные примеры в работе позволяют измерить высоту дерева несколькими способами, не залезая на него (по длине тени, при помощи простого булавочного прибора, при помощи записной книжки), измерить ширину реки и глубину пруда.

Данная работа важна тем, что наглядно показывает, что геометрия – это не просто школьный предмет, а наука, находящая применение в жизни.

Практическое применение работы состоит в том, чтобы использовать знания и умения в решении задач по геометрии, расширении кругозора учащихся.

Список литературы

1. Атанасян Л.С., Бутузов А.Ф., Кадомцев С.В. и др. Геометрия 10-11 кл. – М.: Просвещение, 2003г. – 206с.

2. Брохгауз Ф.Б. Иллюстрированный энциклопедический словарь.-М.: Эксмо, 2006-960с.

3. Перельман Я.И. Занимательная алгебра, занимательная геометрия.-М. : АСТ, 2007-474с.