Применение геометрии (стр. 1 из 2)
X районная научно-практическая конференция учащихся
МОУ «Средняя общеобразовательная школа №92»
Применение геометрии
Работу выполнил:
Дороднева Анастасия
школа №92, 10 класс
Научный руководитель:
Прокопенко О.И., учитель математики и информатики
г.Новокузнецк, 2008г.
Содержание
1. Введение 3стр.
2. Измерение высоты дерева. 4.стр.
2.1 По длине тени. 4 стр.
2.2 Измерение высоты дерева при помощи простого
булавочного прибора. 5 стр.
2.3 При помощи записной книжки. 6 стр.
2.4 Измерение высоты дерева, не приближаясь к дереву. 7 стр.
3. Геометрия у реки. 9 стр.
3.1 Измерение ширины реки. 9 стр.
3.2 Измерение глубины пруда. 13 стр.
4. Заключение. 14стр.
5. Список литературы. 15 стр.
Введение
Геометрия – одна из самых древних наук. В переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие» («гео» - земля, «метрео» - мерить). Такое название объясняется тем, что зарождение геометрии было связано с различными измерительными работами, которые приходилось выполнять при разметке земельных участков, проведении дорог, строительстве зданий и других сооружений. В результате этой деятельности появились и постепенно накапливались различные правила, связанные с геометрическими измерениями и построениями. Таким образом, геометрия возникла на основе практической деятельности людей и в начале своего развития служила преимущественно практическим целям.
Целью работы служит рассмотреть применение геометрии на практике.
В своей работе рассматриваю следующие вопросы:
1. Измерение высоты дерева. (несколькими способами)
2. Измерение ширины, глубины реки.
Измерение высоты дерева
1. По длине тени
Существует множество различных способов измерения высоты дерева, не срубая его и не взбираясь на верхушку, при помощи весьма незамысловатых приборов и даже без всяких приспособлений.
Самый лёгкий и самый древний способ – без сомнения, тот, которым греческий мудрец Фалес за шесть веков до нашей эры определил в Египте высоту пирамиды. Он воспользовался её тенью. Фалес, - говорит предание, - избрал день и час, когда длина собственной его тени равнялась его росту; в этот момент высота пирамиды должна также равняться длине отбрасываемой ею тени. А чтобы воспользоваться тенью для решения задачи о высоте пирамиды, надо было узнать некоторые геометрические свойства треугольника, - именно следующие два:
1) что углы при основании равнобедренного треугольника равны, и обратно – что стороны, лежащие против равных углов треугольника, равны между собою;
2) что сумма углов всякого треугольника равна двум прямым угла.
Только вооружённый этим знанием Фалес вправе был заключить, что, когда его собственная тень равна его росту, солнечные лучи встречают ровную почву под углом в половину прямого, и следовательно, вершина пирамиды, середина её основания и конец её тени должны обозначить равнобедренный треугольник.
Способ Фалеса в указанном виде применим не всегда, так как солнце у нас низко стоит над горизонтом, и тени бывают равны высоте отбрасывающих их предметов лишь в околополуденные часы летних месяцев.
Нетрудно, однако, изменить этот способ так, чтобы в солнечный день можно было пользоваться любой тенью, какой бы длины она ни была. Измерив, кроме того, и свою тень или тень какого-нибудь шеста, вычисляют искомую высоту из пропорции:
AB:А1В1=BC:В1С1
т.е. высота дерева во столько же раз больше вашей собственной высоты, во сколько раз тень дерева длиннее вашей тени. Это вытекает, конечно, из геометрического подобия треугольников АВС и А1В1С1.
Рис.1 Измерение высоты дерева.
2. Измерение высоты дерева при помощи простого булавочного прибора
Вполне возможно обойтись при измерении высоты и без помощи теней. Таких способов много; начнём с двух простейших.
Прежде всего мы можем воспользоваться свойством равнобедренного треугольника, обратившись к услугам весьма простого прибора, который легко изготовить из дощечки и трёх булавок. На дощечке любой формы, даже на куске коры, если у него есть плоская сторона, намечают три точки – вершины равнобедренного треугольника – и в них втыкают торчком по булавке. (рис.2) Пусть у вас нет под рукой чертёжного треугольника для построения прямого угла, нет циркуля для отложения равных сторон. Перегните тогда любой лоскут бумаги один раз, а затем поперёк первого сгиба ещё раз так, чтобы обе части первого сгиба совпали, - и получите прямой угол. Та же бумага пригодится вместо циркуля, чтобы отмерить равные расстояния.
Рис.2 Булавочный прибор для измерения высот.
Обращение с ним не сложнее изготовления. Отойдя от измеряемого дерева, держите прибор так, чтобы один из катетов треугольника был направлен отвесно, для чего можете пользоваться ниточкой с грузиком, привязанной к верхней булавке.
Рис.3 Схема применения булавочного прибора. Рис.4
Приближаясь к дереву или удаляясь от него, вы всегда найдёте такое место А (рис.3), из которого, глядя на булавки А1 и С1 , увидите, что они показывают верхушку С дерева: это значит, что продолжение гипотенузы
А1С1 проходит через точку С. Тогда, очевидно, расстояние А1В равно СВ, так как угол а=450.
Следовательно, измерив расстояние А1В и прибавив ВD, т.е. возвышение А1А глаза над землёй, получите искомую высоту дерева.
По другому способу вы обходитесь даже и без булавочного прибора. Здесь нужен шест, который вам придётся воткнуть в землю так, чтобы выступающая часть как раз равнялась вашему росту. Место для шеста надо выбрать так, чтобы, лежа, как показано на рис.6, вы видели верхушку дерева на одной прямой линии с верхней точкой шеста. Так как треугольник АВ1С1 – равнобедренный и прямоугольный, то угол А=450 и, следовательно, АВ равно ВС, т.е. искомый высоте дерева.
3. При помощи записной книжки
Рис. 5 Измерение высоты дерева при помощи записной книжки.
В качестве прибора для приблизительной оценки недоступной высоты вы можете использовать и свою карманную записную книжку, если она снабжена карандашом, всунутым в чехлик или петельку при книжке. Она поможет вам построить в пространстве те два подобных треугольника, из которых получается искомая высота. Книжка должна находиться в отвесной плоскости, а карандаш выдвигается над верхним обрезом книжки настолько, чтобы, глядя из точки а, видеть вершину В дерева покрытой кончиком В1 карандаша. (рис. 5) Тогда вследствие подобия треугольников А1В1С1 и А1BC высота ВС определиться из пропорции ВС: В1С1= А1C: А1С1
Расстояние В1С1,А1С1 и А1С измеряются непосредственно. К полученной величине ВС надо прибавить ещё одну длину СD, т.е. – на ровном месте – высоту глаза над почвой.
Так ширина А1С1 книжки неизменна, то если вы будете всегда становиться на одном и том е расстоянии от изменяемого дерева, высота дерева (например, 10м) будет зависеть только от выдвинутой части В1С1 карандаша. Поэтому вы можете заранее вычислить, какая высота соответствует тому или иному выдвижению, и нанести эти числа на карандаш. Ваша записная книжка превратится тогда в упрощённый высотомер, так как вы сможете при её помощи определять высоты сразу, без вычислений.
4. Измерение высоты дерева, не приближаясь к дереву.
Рис. 6 
Случается, что почему-либо неудобно подойти вплотную к основанию измеряемого дерева. Можно ли в таком случае определить его высоту?
Вполне возможно. Для этого и придуман остроумный прибор, который, как и предыдущие, легко изготовить самому. Две планки ab и cd скрепляются под прямым углом так, чтобы аb равнялось bc, а bd составляло половину аb. Вот и весь прибор. Чтобы измерить им высоту, держат его в руках, направив планку cd вертикально, и становятся последовательно в двух местах: сначала в точку А, где располагают прибор концом вверх, а затем в точке A', подальше, где прибор держат вверх концом d. (рис. 10) Точка А избирается так, чтобы, глядя из а на конец с, видеть его на одной прямой с верхушкой дерева. Точку же А' отыскивают так, чтобы, глядя из а' на точку d', видеть её совпадающей с В. В отыскании этих двух точек А и А' заключается всё измерение, потому что искомая часть высоты дерева ВС равна расстоянию АА'. Равенство вытекает, как легко сообразить, из того, что аС=ВС, а а'С=2ВС; значит, a'C-aC=BC.
Вы видите, что, пользуясь этим простым прибором, мы измеряем дерево, не подходя к его основанию ближе его высоты. Само собою разумеется, что если подойти к стволу возможно, то достаточно найти только одну из точек – А или А', чтобы узнать его высоту.
Вместо двух планок можно воспользоваться четырьмя булавками, разместив их на дощечке надлежащим образом; в таком виде «прибор» ещё проще.
Задача про две сосны.
Рис.7
В 40м одна от другой растут две сосны. Вы измерили их высоту: одна оказалась 31м высоты, другая, молодая – всего 6м.
Можете ли вы вычислить, как велико расстояние между их верхушками?
РЕШЕНИЕ
Искомое расстояние между верхушками сосен по теореме Пифагора равно
=47м.