цель этой работы, рассмотреть незаслуженно забытую проблему, которая не была решена. Явно недостаточное количество литературы по этому вопросу не позволяет многим людям попытаться внести свой вклад в (стр. 2 из 5)

Предположим, y нечетное число, тогда, по условию имеем

(4+1)^z-4=(4-1)^yÛ(4a+1)-4=4b-1Ûa-b-1=¹/₂ где a,b Î N, что невозможно.

Тогда y=2m, m Î N.

Предположим, z нечетное число, тогда, согласно условию, имеем

(6-1)^z=3^y+4Û6c-1=3^y+4Û2c-3^y-1-1=²/₃, где cÎN, что невозможно. Тогда z=2n, nÎN.

Имеем 5²ⁿ-3^2m=4Û(5ⁿ-3^m)( 5ⁿ+3^m)=4, откуда

ì5ⁿ-3^m=1 _или ì5ⁿ-3^m=2 _Û

î5ⁿ+3^m=4 î5ⁿ+3^m=2

ì5ⁿ=2,5 _{или ì}5ⁿ=2

î3^m=1,5 î3^m=0, что невозможно.

Уравнение 4+3^y=5^z решения не имеет.

3) Пусть x=3, тогда имеем уравнение 8+3^y=5^z.

Предположим, y нечетное.

Получаем (4+1)^z=8+(4-1)^y Û 4a+1=8+4b-1 Û a-b-2=¹/₂ , где a,bÎN, что невозможно. Тогда, y=2m, mÎN.

Предположим z=2n+1.

Имеем 5²ⁿ⁺¹=8+(8+1)^m Û 5(24c+1)=8+(8d+1) Û d-15c+1=¹/₂, где c,dÎN, что невозможно.

Итак, z=2n, nÎN.

Тогда имеем 5²ⁿ-3^2m=8 Û (5ⁿ-3^m)( 5ⁿ+3^m)=8, учитывая , что 5ⁿ ±3^m четные и 5ⁿ-3^m<5ⁿ+3^m, получаем ì5ⁿ-3^m=2 Þ 5ⁿ=3, что невозможно.

î5ⁿ+3^m=4 .

4) Пусть x=4,тогда имеем уравнение 16+3^y=5^z.

Предположим y-нечетное.

Получаем (4+1)^z=16+(4-1)^y Û 4a+1=16+4b-1 Û a-b-3¹/₂=0 , где a,bÎN, что невозможно. Тогда y=2m, mÎN.

Предположим z=2n+1.

Имеем 5²ⁿ⁺¹=16+(8+1)^m Û 5(24c+1)=16+(8d+1) Û 15c-d=1¹/₂, где c,dÎN, что невозможно.

Итак z=2n, nÎN.

Имеем (5ⁿ-3^m)( 5ⁿ+3^m)=16, учитывая, что 5ⁿ±3^m четные и

5ⁿ-3^m<5ⁿ+3^m, получаем ì 5ⁿ-3^m=2 Û ì2×5ⁿ=10 Ûì5ⁿ=5 Û

î5ⁿ+3^m=8 . î2×3^m=6 î3^m=3

n=m=1. Значит, (4;2;2)- решение уравнения 2^x+3^y=5^z.

5) Предположим, x³5 , тогда 2^x+3^y=5^z . 5^z -3^y=2^x . (5^z -3^y)делится на 32, т.е. числа 3^y и 5^z дают один и тот же остаток при делении на 32 .

Рассмотрим остатки от деления на 32 5^z и 3^y.

5^z при делении на 32 дает остатки: 5; 25; 29; 17; 21; 9; 13; 1, а

3^y при делении на 32 дает остатки: 3; 9; 27; 17; 19; 25; 11; 1. Итак, возможны пары (z;y):

(8k+2; 8l+6); (8k+4; 8l+4); (8k; 8l).

Во всех случаях числа z,y четные, т.е. z=2a, y=2b a,bÎN, тогда

5^2a-3^2b=2^xÛ (5^a-3^b)( 5^a+3^b)=2^xÛ ì5^a-3^b=2^c

î5^a+3^b=2^d,

где d>c>0; d,c,ÎN, c+d=x.

Имеем 2^d-2^c=2×3^b Û 2^c-1(2^d-c-1)=3^b. Значит, 3:2^c-1, тогда c=1, следовательно, 3^b=2^d-1-1, тогда b=1, d=3, c=1(см. Приложение), что противоречит предположению (x>4 x=d+c=3+1=4).

Ответ: (1;1;1), (4;2;2)

5. Решение уравнения 2^x+3^y=7^z

1) Пусть x=1, тогда имеем уравнение 2+3^y=7^z.

Тогда 2+3^y=(6+1)^z Û 2+3^y=6a+1 Û 3^y-1-2a+¹/₃=0, где aÎN, что невозможно. Значит, уравнение 2+3^y=7^z решений не имеет.

2) Пусть x=2, тогда имеем уравнение 4+3^y=7^z.

y=1, z=1 решение. Предположим, y³2, тогда 7^z-4=3^y, т.е.

7^z-4 делится на 9 Þ 7^z дает остаток 4 при делении на 9. 7^z при делении на 9 дает в остатке: 7; 4; 1. Значит, z= 3k+2, где kÎZ₊.

Имеем 7^3k+2=3^y+4 Û 49(7^3k-1)=3^y-45.

Заметим, что (7³-1):19 Þ (7^3k-1):19, т.е. (3^y-45):19Þ (3^y-7):19.

3^y при делении на 19 дает остатки:

3; 9; 8; 5; 15; 7; 2; 6; 18; 16; 10; 11; 14; 4; 12; 17; 13; 1. Значит, у=18k+6=6(3k+1)=6n, nÎN. Заметим, что (3⁶-1):7Þ(3⁶ⁿ-1):7.

Получили 4+3⁶ⁿ=7^z Û 5+3⁶ⁿ-1=7^z Þ 5+7a=7^z Û 7^z-1-a=⁵/₇ , где aÎN, что невозможно.

Значит, (2;1;1) решение уравнения 2^x+3^y=7^z.

3) Предположим, x³3, тогда 7^z-3^y=2^x, т.е. 7^z-3^y делится на 8, тогда числа 7^z и 3^y при делении на 8 дают равные остатки.

7^z при делении на 8 дает остатки: 7; 1, а 3^y при делении на 8 дает остатки 3; 1. Значит, z=2k, y=2n, где k,nÎN.

Имеем 7^2k-3²ⁿ=2^x Û (7^k-3ⁿ) (7^k+3ⁿ)=2^x Û ì7^k-3ⁿ=2^a