î7k+3n=2b
где b>a>0; b,a,ÎN; a+b=x, тогда
2×7k= 2a+2b Û 7k=2a-1 (2b-a+1). Значит, 7k:2a-1. Откуда a=1. Получаем 2b-1+1=7k. Остатки от деления 2x на 7: 2;4;1.
Значит, 2b-1+1=7k решения не имеет.
Ответ: (2;1;1)
6. Решение уравнения 2x+3y=11z
1.) Заметим, что все степени 11 дают остаток 1 при делении на 10.
Рассмотрим остатки при делении на 10 2x и 3y:
24m+1º2(mod 10), 34n+1º3(mod 10),
24m+2º4(mod 10), 34n+2º9(mod 10),
24m+3º8(mod 10), 34n+3º7(mod 10),
24m+4º6(mod 10), 34n+4º1(mod 10).
Значит, если x и у являются решениями уравнения, то сумма последних цифр 2x и 3y равна 11, т.е. x¹4m, y¹4n, возможны пары (x;y):
(4m+1; 4n+2); (4m+2; 4n+3); (4m+3; 4n+1).
2.) Остатки 2x при делении на 11: 2,4,8,5,10,9,7,3,6,1.
Остатки 3у при делении на 11: 3,9,5,4,1.
Значит x¹2k.
Тогда остались пары (x;y):
(4m+1; 4n+2); (4m+3; 4n+1).
3.) Пусть x=1, тогда имеем уравнение 2+3y=11z, где y=4n+2 (из п.6.1), тогда
2+34n+2=11z.
Видим, что у=2, z=1—его решение. Если существуют другие решения, тогда
y=4n+2>2 Þ 34n+2:27.
Остатки от деления 11z на 27: 11;13;8;7;23;10;2;22;26;16;14;19;20;4;17;25;5;1.Þ z=18k+7.
Заметим, что 1118-1 делиться на 19 (малая теорема Ферма).
Имеем 1118k+7-2=3y, тогда 117( 1118k-1)+117-2=19a+9=3y.
Остатки от деления 3yна 19: 3;9;8;5;15;7;2;6;18;16;10;11;14;4;12;17;13;1. Значит, y=18n+2.
318n+2=9(318n-1)+9=9(276n-1)+9=7a+9 (276n-1 делится на 7), т.е.
1118k+7=7b+4.
Остатки от деления 11z на 7: 4;2;1, т.е. z=3c+1…
Дальнейшее доказательство этого уравнения с помощью теории делимости чисел не существует, однако, проверка простым перебором, с помощью вычислительной техники позволяет предположить, что это равенство выполняется только при z=1,y=1.
4.) Пусть x=3, тогда имеем уравнение 8+3y=11z, где y=4m+1 (из п.6.1.), y=1, z=1 его решение.
Пусть y>1, тогда 11z-8=3y , т.е. 11z-8 делится на 9 ,значит, 11z дает остаток 8 при делении на 9. 11z при делении на 9 дает остатки: 2; 4; 8; 7; 5; 1. Откуда z=6k+3, тогда 11z=116k+3= 113 ×116k=113(116k-1)+ 113, заметим 116-1 делится на 7Þ 116k-1 делится на 7, тогда 113(116k-1)+113=113×7a+113= 113 × 7a + 7 × 190 + 1= 7(113a+190) + 1, откуда 11z-8=7b-7=7c, одновременно 11z-8=3y,значит, 3y:7, что невозможно. (3;1;1)- решение уравнения 2x+3y=11z.
5.) Допустим x>3, тогда 11z-3y=2x делится на 16, т.е. 11z и 3y даю одинаковые остатки при делении на 16.
11z при делении на 16 дает остатки: 11; 9; 3; 1.
3y при делении на 16 дает остатки: 3; 9; 11; 1.
Из п.6.2. y=4n+1 или y=4n+2; тогда z=4k+3 или z=4k+2 соответственно. Рассмотрим уравнение 11z-3y=2x при y=4n+2;z=4k+2, тогда 114k+2-34n+2=2x Û
ì112k+1-32n+1=2a
î112k+1+32n+1=2b , где b>a, a+b=x
Откуда 112k+1=2a-1(2b-a+1), что возможно только при a=1,т.к.
112k+1: 2a-1,если a-1=0, тогда 112k+1=2b-1+1 Þ 10d+1 = 2b-1+1 Þ 2b-1: 5, что невозможно.
Рассмотрим уравнение 11z-3y=2x при y=4n+1; z=4k+3. 114k+3-34n+1=2x Û 113(114k-1)+113 –3(34n-1)-3=2x Û 113(114k-1) –3(34n-1)+13 =2x, зная, что 114k-1 и 34n-1 делятся на 5, запишем
113(114k-1)+11 –3(34n-1)-3=2x как 113×5a-15b+8=2x откуда 5с+3=2x Þ 2x при делении на 5 дает остаток 3. 2x при делении на 5 дает остатки: 2; 4; 3; 1. Тогда x=4m+3, что не противоречит ни одному из пунктов.
Как мы видим, решение по x не дало результатов, рассмотрим решение по y.
6.) Пусть y=1, тогда имеем уравнение 2x+3=11z.
Тогда x=3, z=1- его решение.
При x=4;5—решений нет. Пусть x>5, тогда (11z-3):64. Остатки от деления 11z на 64: 11;57;51;49;27;41;3;33;43;25;19;17;59;9;35;1. Откуда z=16k+7, имеем 1116k+7-3=117(1116k-1)+117-3 Заметим, что
(1116-1):17 (Малая теорема Ферма) и (1116k-1):17.
1116k+7-3=17a+17×1146304+3–3=17d. Получаем 2x=17d, что невозможно. (3;1;1)- решение 2x+3y=11z.
7.) Пусть y=2, тогда имеем уравнение 9+2x=11z . Видим, что x=1 z=1- его решение.Пусть x>1, тогда 11z-9 делится на 4 Þ 11x при делении на 4 дает остаток 1. 11z при делении на 4 дает остатки 3; 1. т.е. z=2k. Отсюда 112k-9=2x Û
ì11k-3=2a
î11k+3=2b, где b>a a,bÎN. Тогда 11k=2a-1(2b-a+1), что возможно только при a=1. Значит, 11k=2b-1+1Þ 10d+1=2b-1+1. откуда 2b-1 :5, что невозможно. (1;2;1)-решение уравнения 2x+3y=11z.