Б) Доказательство не найдено. Рассматриваем остатки от деления на другие числа.
С помощью теории делимости чисел можно легко показать, что уравнения вида bx+(b+1)y = az , где aÎN, bÎN, не имеют решения, например, если b или (b+1) имеет общий делитель с а. Всегда можно наложить существенные ограничения на показатели степеней. Затем, эти ограничения можно использовать при доказательстве другими методами или в дальнейшем анализе. Стоит заметить, что все решения тривиальны, возможно, справедливо утверждение: «max {x,y,z} <= max{a,b,c}, cx+by = az» Если удастся это доказать, то уравнения этого вида можно будет решать, простым перебором. конечного числа вариантов.
ПРИЛОЖЕНИЕ.
Малая теорема Ферма.
ap-a делится на простое p для любого натурального а. В частности, если
a и p взаимнопростые, то аp-1-1 делится на p.
(Доказательство см. Диофантовы уравнения Д.Ф. Базылев. стр.20)
Бином Ньютона.
(x-a)n=xn+C1naxn-1+…+an, nÎN.
1. для n=2k+1 kÎZ+. (x-1)n=lx-1 ,где l-некоторое натуральное число.
2. для n=2k kÎN. (x-1)n=lx+1, где l-некоторое натуральное число.
3. для любого n. (x+1)n=lx+1, где l-некоторое натуральное число.
Формулы сокращенного умножения.
am-bm=(a-b)(am-1+am-2b+…+abm-2+bm-1),mÎN.
Отсюда (ak×m-1)= (ak×m-1k)=(am-1)(…) делится на (am-1) .
Решение уравнеия 3y=2x-1.
3y=2x-1. 2x-1. делится на 3. 2x при делении на 3 дает остатки: 2;1.
Отсюда x=2m. Имеем 3y=22m-1 Û ì2m-1=3a
î2m+1=3b, b>a, a+b=у.
Тогда 2m+1=3a+3b, b=1, a=0- его решение. Если а>0 , тогда 2m+1=3(3a-1+3b-1), откуда 2m+1:3, что невозможно.
Ответ: (2;1)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. «Олимпиады. Алгебра. Комбинаторика.» Ответственный редактор Л.Я. Савельев. Издательство «Наука». Сибирское отделение. 1987г.
2. « Диофантовы уравнения » Справочное пособие к решению задач
Базылев Д.Ф. Мн.: НТЦ «АПИ», 1990г.- 160 с.