Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа ст. Дрязги из опыта работы «Задачи на процентные вычисления». Выпускная квалификационная работа (стр. 2 из 5)
В учебнике Э. Р. Нурка, А. Э. Тельгмаа «Математика» за 6 класс приводится такая задача: «При переработке сахарной свёклы можно получить 13% сахара от всей массы свёклы. Сколько сахара получится из 50 тонн свёклы?».
И ниже в учебнике приводится её решение: для решения задачи нужно найти 13% от числа 50. Выражаем 13% обыкновенной или десятичной дробью: 13%=
=0,13. Умножаем данное число на эту дробь: 50* 
= 
или 50*0,13=6,5. Следовательно, из 50 тонн получится 6,5 тонн сахара.Здесь, в учебнике, после задачи приводится правило, чтобы найти проценты от данного числа, надо:
1) выразить проценты обыкновенной или десятичной дробью;
2) умножить данное число на эту дробь.
Для прочного усвоения метода решения задач данного вида можно да и нужно дать ученикам ряд задач:
1. В 6 «б» классе 35 учеников, а в 6 «а» - 80% этого количества. Сколько учеников в 6 «а» классе?
2. Тело человека содержит примерно 64% воды. Сколько килограммов воды в человеке массой 60 кг?
3. При сушке яблоки теряют 91% своей массы. Сколько килограммов сушёных яблок получится из 160 кг свежих?
4. По плану токарь должен изготовить 400 деталей за день. Он выполнил план на 110%. Сколько деталей он изготовил?
5. Луч, проведённый из вершины прямого угла, делит его на два угла. Один из них составляет 65% прямого угла. Вычислите градусные меры этих углов.
6. Сберегательный банк начисляет на каждый вклад 123% в год. Сколько денег будет на счету через год, если на нём было 100 тыс.р.?
2. Задачи на нахождение числа по его процентам.
Возьмём задачу из учебника Э. Р. Нурка, А. Э. Тельгмаа: «За контрольную работу по математике оценку «4» получили 9 человек. Это составляет 36% от всех учащихся класса. Сколько учащихся в классе?».
Разбирается решение: при решении задачи нужно найти такое число 36% которого равны 9; для этого выразим проценты обыкновенной или десятичной дробью: 36%=
=0,36. Далее поступим по правилу нахождения числа по его дроби, т.е. разделим число на дробь: 
или 9:0,36=25. Значит, в классе 25 учеников.После этой задачи ниже приводится правило, чтобы найти число по его процентам, нужно:
1) выразить проценты обыкновенной или десятичной дробью;
2) разделить данное число на эту дробь.
Для прочного усвоения метода решения задач данного вида нужно дать ученикам ряд задач:
1. 8 учеников, что составляет 25% учащихся класса, за контрольную работу получили оценку «5». Сколько учащихся в классе?
2. В коробке лежали лампочки, 4 из которых оказались разбитыми. Разбитые лампочки составляют 2% от числа всех лампочек. Сколько всего лампочек было в коробке?
3. В школе 125 учеников учатся на «5». Это составляет 5% всех учеников школы. Сколько учеников в школе?
4. Кладовщик выдал маляру 18% количества всей краски, после чего на складе ещё осталось 492 кг. Сколько килограммов краски выдали маляру?
5. Мужчины на заводе составляют 75% всего количества рабочих. Женщин на заводе 216. Сколько мужчин работает на заводе?
6. Товар вместе с упаковкой стоит 40,8р.Стоимость упаковки составляет 2% стоимости товара. Сколько стоит товар без упаковки?
3.Задачи на нахождение процентного отношения.
Рассмотрим решения задач данного вида.
Задача №1. Каково процентное содержание меди в руде, если на 225 кг руды приходится 34,2 кг меди?
Решение.
1 способ. Содержание меди в руде составляет дробь:
.Обратим данную дробь в десятичную =0,152. Умножаем получившуюся дробь на 100% и находим процентное содержание 0,152*100%=15,2%.Ответ:15,2%.
2 способ.
Руда 225 кг - 100%
Медь 34,2 кг - ? %
=15,2%Следовательно, получается правило: чтобы найти процентное отношение первого числа от второго (и обратно), нужно найти отношение первого ко второму (и обратно) и полученное отношение умножить на 100%.
Возьмём задачу из учебника Э.Р.Нурка, А.Э.Тельгмаа.
Задача №2. До снижения цен книга стоила 250 р., после снижения она стала стоить 230 р. На сколько процентов понизилась цена?
Решение. Для решения задачи узнаем сначала, на сколько рублей изменилась цена книги:
1) 250-230=20 (р.) Теперь найдём, сколько процентов составляет полученная разность:
2)
*100%=0,08*100%=8%.Значит, стоимость книги понизилась на 8%.
Ответ: на 8%.
Для прочного усвоения метода решения задач данного вида нужно дать ученикам ряд задач:
1. Колхоз планировал получить с 1 га в среднем 29 ц зерновых, а получил – 32 ц. На сколько процентов колхоз перевыполнил план? На сколько процентов выполнил план?
2. Среди жителей села 350 человек имеют право участвовать в голосовании. На избирательный участок в день выборов пришло 189 человек. Какой процент избирателей принял участие в голосовании?
3. Из 2150 телевизоров, выпущенных за месяц на заводе А, в первый же год потребовали ремонта 48 штук, а из 725 телевизоров, сделанных на заводе В, в первый год ремонт потребовали 31 телевизор. На каком заводе процент некачественных телевизоров выше?
4. На соревнования спортсмены завоевали 96 медалей, из них 35 медалей бронзовые и 31 медаль серебряная. Сколько процентов от общего числа составили золотые медали?
5. Число дождливых дней в июне обычно равно 12. Сколько процентов не дождливых дней в июне?
6. Из 30000 жителей города 6900 – дети. Какой процент всего населения составляют дети?
4. Задачи на увеличение и уменьшение числа на несколько процентов.
Задача №1.Товар стоимостью 250 рублей уценён на 10%. Определите новую стоимость товара.
Решение. Данную задачу можно решить двумя способами:
1 способ. Сначала находим на сколько рублей уценили товар , для этого находим сначала 1 %:
1) 250:100=2,5 (р.) – в одном проценте. Далее уже находим 10% уценки:
2) 2,5*10=25 (р.) – на столько уценили товар. А теперь находим новую цену:
3) 3) 250-25=225 (р.) – новая цена.
2 способ. Сначала находим сколько процентов стал стоить товар:
1) 100% - 10%=90% - стал стоить товар. Далее находим сколько рублей приходится на 1%.
2) 250:100=2,5 (р.) – на 1%. Теперь узнаем новую цену товара:
3) 90*2,5=225 (р.) – новая цена.
Ответ: 225 рублей.
Задача №2. Цена товара повысилась на 20% , а затем ещё на 50%. На сколько процентов повысилась цена по сравнению с первоначальной ценой?
Решение. Первоначальную цену примем за 100%. После первого повышения цена стала равна:
1) 100%+20%=120% . Второе повышение происходит от новой цены, то есть:
=60%.Ответ: на 60%.
Для прочного усвоения метода решения задач данного вида нужно дать ученикам ряд задач:
1. В магазине книга стоит 50 руб. Определите её новую цену, если стоимость книги увеличилась на 120%.
2. Цену товара увеличили на 10 %. Какова цена товара?
3. Флеш-карта стоит 500 рублей. Сначала цена уменьшилась на 20 %, а затем увеличилась на 10%. Сколько стала стоить флеш-карта?
4. Весной цена товара была повышена на 10 % , а осенью – ещё на 5%. Сколько стал стоить товар, если его первоначальная стоимость была 300 руб.?
5. Цену на калькулятор сначала повысили на 25% , а потом ещё на 65% . Во сколько раз увеличилась цена на калькулятор?
5.Задачи на смеси и сплавы.
Задача №1. Для проведения опыта научный сотрудник химической лаборатории смешал 4% раствор некоторого химического вещества и 10% раствора этого же вещества и получил 75 мл. 8% раствора . сколько миллилитров 4% раствора и сколько 10% раствора было взято.
Решение. Обозначим через x – количество 4% раствора, а через y – количество 10% раствора. Запишем первое уравнение системы, т.к. должно получится 75 мл. раствора: x + y=75.
Второе уравнение системы связывает количество соли в 4%, 10% и получившимся растворах: 0,04x + 0,1y =0,08(x+y).
Решим получившуюся систему уравнений:x+y=75,
0,04x+0.1y=0,08(x+y);
x=25,y=50.
Значит, 25 мл взяли 4% раствора и 50 мл 10% раствора.
Ответ: 25 мл; 50 мл.
Задача №2. Кусок сплава золота и серебра весом 3 кг содержит 30% золота. Сколько кг чистого золота нужно прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% золота?
Решение. Пусть добавили x кг чистого золота; 3*0,3=0,9(кг) – чистого золота было в сплаве. Всего чистого золота стало (x+0,9) кг, а сплав массой 
(кг) – чистого золота. Составим и решим уравнение: 
, x=0,5, т. е. 0,5 (кг) – надо добавить чистого золота.
Ответ: 0,5 кг.
Данный вид задач представляет собой сложный вид, т.к. эти задачи учащиеся решают очень плохо. Думаю, что после объяснения решения таких задач целесообразно прорешать аналогичные как индивидуально, так и со всеми вместе.