Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа ст. Дрязги из опыта работы «Задачи на процентные вычисления». Выпускная квалификационная работа (стр. 3 из 5)

1. До какого веса надо выпарить 800 г 10% раствора соли, чтобы довести её содержание до 16%?

2. На складе имеются две ёмкости с 5% и 25% содержанием уксуса. Сколько надо взять литров из каждой ёмкости, чтобы получить 80 литров 10% уксуса?

3. Сколько килограммов пресной воды надо прибавить к 80 кг морской воды, содержащей 5% соли ( по массе), чтобы содержание соли стало 2%?

4. Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 455 меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный сплав содержал 60% меди?

5. В сплав входит медь, олово и сурьма в отношении 4:15:6. Сколько процентов сплава составляет каждый металл?

6. Задачи на вычисление простых и сложных процентов.

Тема «Проценты», как было уже сказано выше, связана с повседневной жизнью. Мы часто сталкиваемся с банковскими операциями: различные вклады, ссуды. Между тем, многие ребята, да и мы взрослые, при столкновении с этими задачами боимся их, потому что не умеем их решать. В учебниках не вводятся формулы простых и сложных процентов. Учащиеся должны решать задачи, опираясь не на формулы, а на понимание, на смысл понятия «процент», на умение находить процент от числа, число по его проценту. Вообще, данный вид задач применяется во многих областях хозяйственной деятельности и бухгалтерского учёта, а также в различных статистических расчётах, где используются формулы простых и сложных процентов.

Для нахождения простых процентов служит формула простых процентов: если с величины «а» нарастает «р»% за год (или другой период), то через t лет, полученную сумму можно получить по формуле:

.

При этом предполагается, что по истечении каждого года доход за этот год исчисляется с первоначальной величины.

Если же доход причисляют к первоначальной величине и, следовательно, доход за новый год исчисляется с наращенной суммы, то говорят о сложных процентах; в этом случае величина, в которую превращается «а» через t лет вычисляется по формуле сложных процентов:

.

Задача №1. Клиент положил в банк на год 4000 рублей. Какая сумма у него будет через год, если банк выплачивает 8% годовых?

Решение. Данную задачу можно решить двумя способами.

1 способ. Сначала находим сколько рублей приходится на 1%:

1) 4000:100=40 ( р.) – на 1%.

Далее находим, сколько рублей будет составлять 8%:

2) 40*8=320 (р.) – на 8%.

А теперь найдём, какая сумма получится в конце года:

3) 4000+320=4320 (р.) – получилась сумма к концу года.

2 способ.

Сначала находим, сколько процентов будет в конце года:

1) 100+8=108% - к концу года.

Находим, сколько приходится на 1%:

2) 4000:100=40 (р.) – на 1%.

А теперь найдём нужную нам сумму:

3) 40*108=4320 (р.) – сумма в конце года.

Ответ: 4320 рублей.

Задача №2. Владелец садового участка взял в банке ссуду 300000 рублей для постройки дома на участке. Он должен был вернуть эти деньги через год с надбавкой 9%. Какую сумму он должен был вернуть?

Решение.

1) 100+9=109% - должен вернуть в банк владелец.

109:100*300000=327000 (р.) – должен вернуть.

Ответ: 327000 рублей.

Задача №3. Ирина внесла в январе 100 рублей на счёт, по которому ежемесячно начисляется 2%. И затем каждый месяц в течение года она вносила ещё по 100 рублей, не снимая с него никаких сумм. Сколько рублей на её счете будет в конце декабря?

Решение. Выразим процент десятичной дробью: 2% - 0,02. Вклад ежемесячно увеличивается в 1,02 раза и идёт последовательное накопление вклада:

январь – 100 р;

февраль – 100*1,02+100 р;

март – 100*

+100*1,02+100 р;

………………………………………

декабрь – 100*(1,02)

+100*(1,02) +……..+100=100*((1,02) + (1,02) + +1) =100* =1341(р.)

Ответ: 1341 рубль.

В ходе решения подобных задач учащиеся видят, что формула суммы геометрической прогрессии – это не просто абстракция, отвлечённая формула, а конкретные математическое знание, необходимое в жизни.

Задача №4. Вклад, положенный в сбербанк два года назад, достиг 1312500 р. Каков был первоначальный вклад при 25% годовых?

Решение. Пусть x (р.) – первоначальный размер вклада. В конце первого года вклад составит:

(р.)

1,25

(р.) – на столько увеличился вклад к концу второго года по сравнению с первым;

(р.) – таким станет вклад к концу второго года, т.е. составит по условию 1312500 р. Имеем: , откуда =840000. Значит 840000 (р.) – первоначальный вклад.

Ответ: 840000 рублей.

Как было уже выше написано, что вычисление процентов необходимо в банковских расчётах. Например, есть такие вклады в банках, как вклад «Сберегательный сбербанка России»:

на 1 месяц – 5%,

на 2 месяца и 1 день – 5%,

на 3 месяца и 1 день – 7%,

на 6 месяцев– 9%,

на 1 год – 11 %;

по которым процентные начисления как в предыдущей задаче.

Очень трудно вычисляются проценты при взятии клиентом ссуды в банке на несколько лет.

Задача. Клиент берёт ссуду в размере 10000 рублей на 5 лет при 19% годовых. Сколько ему нужно будет платить ежемесячно, если он взял ссуду в октябре?

Решение. При выплачивании ссуды клиент начинает платить, т.е. делать первое погашение через 2 месяца. Ниже приведена таблица погашения данной ссуды.

Дата операции	Ежемесячный платёж	Платёж %%	Всего платёж	Остаток после платежа
31.12.2003	198	432.05	630.05	9802
31.01.2004	169	157.74	326.74	9633
29.02.2004	169	145.02	314.02	9464
31.03. 2004	169	152.3	321.30	9295
30.04. 2004	169	144.76	313.76	9126
31.05.2004	169	146.86	315.86	8957
30.06.2004	169	139.49	308.49	8788
31.07.2004	169	141.42	310.42	8619
31.08.2004	169	138.7	307.70	8450
30.09.2004	169	131.6	300.6	8281
31.10.2004	169	133.27	302.27	8112
30.11. 2004	169	126.33	295.33	7943
31.12. 2004	169	127.83	296.83	7774
31.01.2005	169	125.45	294.45	7605
28.02.2005	169	110.85	279.85	7436
31.03.2005	169	119.99	288.99	7267
30.04.2005	169	113.48	282.48	7098
31.05.2005	169	114.54	283.54	6929
30.06.2005	169	108.21	277.21	6760
31.07.2005	169	109.09	278.09	6591
31.08.2005	169	196.36	275.36	6422
30.09.2005	169	100.29	269.29	6253
30.10.2005	169	100.9	269.9	6084
30.11.2005	169	95.01	264.01	5915
31.12.2005	169	95.45	264.45	5746
31.01.2006	169	92.72	261.72	5577
28.02.2006	169	81.25	250.29	5408
31.03.2006	169	87.27	256.27	5239
30.04.2006	169	81.81	250.81	5070
31.05.2006	169	81.81	250.81	4901
30.06.2006	169	76.54	245.54	4732
31.07.2006	169	76.36	245.36	4563
31.08.2006	169	73.63	242.63	4394
30.09.2006	169	68.62	237.62	4225
30.10.2006	169	68.18	237.18	4056
30.11.2006	169	63.34	232.34	3887
31.12.2006	169	62.72	231.72	3718
31.01.2007	169	60	229	3549
28.02.2007	169	51.73	220.73	3380
31.03.2007	169	54.54	223.54	3211
30.04.2007	169	50.14	219.14	3042
31.05.2007	169	49.09	218.09	2873
30.06.2007	169	44.87	213.87	2704
31.07.2007	169	43.63	212.63	2535
31.08.2007	169	40.91	209.91	2366
30.09.2007	169	36.95	205.95	2197
30.10.2007	169	35.45	204.45	2028
30.11.2007	169	31.67	200.67	1859
31.12.2007	169	30	199	1690
31.01.2008	169	27.2	196.2	1521
28.02.2008	169	22.9	191.9	1352
31.03.2008	169	21.76	190.76	1183
30.04.2008	169	18.42	187.42	1014
31.05.2008	169	16.32	185.32	845
30.06.2008	169	13.16	182.16	676
31.07.2008	169	10.88	179.88	507
31.08.2008	169	8.16	177.16	338
30.09.2008	169	5.26.	176.02	287
30.10.2008	169	2.08	174.26	169
09.10.2008	169	0.79	169.79	0
Итого	10000	5005.11	15005.11

Нижеприведённые задачи можно будет использовать при индивидуальной работе с сильными учащимися, а также на факультативах по математике.