Псевдоморфные полевые транзисторы с высокой подвижностью 2 d электронов в канале ( phemt ) работа (стр. 3 из 6)
Таким образом, для решения (2.6) требуются граничные условия:
(2.11)и необходимо выполнение условия нормировки:
(2.10)Предположим, что мы решили уравнение (2.6) и знаем величины энергии
и соответствующие волновые функции ξi(z). Тогда полное число электронов Ni в i-той квантовой подзоне на единицу площади будет:
(2.13)При наличии нескольких минимумов энергии Е(k) в двумерной подзоне Бриллюэна на поверхности значения Ei и ξi(z) будут еще иметь метку, соответствующую выбранному минимуму J.
Распределение электронов по толщине канала будет в этом случае определяться степенью заполнения подзон поперечного квантования и видом функции в каждой подзоне:
(2.14)Полное число носителей в канале Гпна единицу площади будет:
(2.15)Таким образом, основная задача при квантовомеханическом рассмотрении электрона в потенциальной яме состоит в решении уравнения (2.6) и нахождении спектра энергий
и вида волновых функций 
. Оказывается, что в аналитическом виде выражение и можно получить только в случае треугольной потенциальной ямы, которая реализуется в области слабой инверсии и в квантовом пределе, когда заполнена только одна квантовая подзона.2.1.4 Спектр энергий и вид волновых функций
Область слабой инверсии
Для области слабой инверсии электрическое поле постоянно по толщине инверсионного канала, потенциал изменяется линейно с координатой, т.е. на поверхности реализуется треугольная яма.
Для случая треугольной ямы явный вид потенциала ψ(z) задается уравнением:
Подставляя в уравнение Шредингера (2.6), и решая его при соответствующем выборе граничных условий, получаем значения Еi и ξi(z). Энергия дна i-той подзоны Еi (или, что одно и то же, уровня в линейной яме) будет:
где γi являются нулями функции Эйри и имеют значения:
γ0 = 2,238; γ1 = 4,087; γ2 = 5,520; γ3 = 6,787; γ4 = 7,944.
Для I > 4 величина γi описывается рекуррентной формулой:
(2.17)где функция
имеет вид:
(2.18)где Ф(-γi) – функция Эйри, имеющая для каждого номера I = 0, 1, 2… число узлов, равное номеру i.
Для случая треугольной ямы средняя область локализации λс электрона от поверхности на i-том уровне:
(2.19)Величину заряда ионизованных акцепторов в ОПЗ можно изменить, меняя либо легирование, либо напряжение смещения канал-подложка в МДП-транзисторах. На рисунке 2.2 показана рассчитанная величина среднего расстояния λс электронов в инверсионном канале, рассчитанная классическим образом и с учетом квантования при заполнении многих уровней в треугольной яме. Видно, что учет квантования приводит к большему значению по сравнению с классическим случаем и становится существенным:
а) при низких температурах;
б) при высоких избытках;
в) при значительных величинах смещения канал-подложка.
Рис.7. Величины среднего расстояния локализации λс электронов в ОПЗ в области слабой инверсии в зависимости от температуры Т при различных величинах напряжения смещения канал-подложка. Сплошные линии – классический расчет по соотношению (3.42 из учебника), пунктирная линия – квантовый расчет для многих уровней, штрихпунктирная линия – расчет по (2.23) в случае квантового предела.
Глава 3. Вольтамперные характеристики HEMT транзисторов
3.1 Механизм рассеяние горячих носителей
В GaAs полевая зависимость дрейфовой скорости более сложная, чем в других полупроводниках (Si, Ge), что обусловлено особенностями энергетического спктра зоны проводимости этого материала. Основной минимум зоны проводимости (долина) здесь расположен в центре зоны Бриллюэна и характеризуется высокой подвижностью (μ = 4000-8000 см2В-1с-1), а на осях ‹111› расположены долины с малой подвижностью (μ = 100 см2В-1с-1) и энергиейна 0,3 эВ выше основного минимума. В нижней долине эффективная масса m* = 0,068 m0, а в верхних долинах m* = 1,2m0. Следователь, плотность состояний в верхней долине примерно в 70 раз больше, чем в нижней. Рассмотрим малые и большие значения напряженность электрического поля.
При малых напряженностях электрического поля функция распределения электронов по энергии не меняется. В зависимости от типа полупроводника, степени совершенства и количества примеси в слабых электрических полях преобладает рассеяние на тепловых колебаниях решетки (фононах) или ионов примеси. В этом случае подвижность является постоянной величиной и дрейфовая скорость носителей пропорциональна напряженности электрического поля.
В сильных электрических полях функция распределения электронов по энергии существенно меняется. В полярных полупроводниках, таких как GaAs, определяющую роль начинает играть неупругое рассеяние на оптических фононах. Это приводит к насыщению дрейфовой скорости носителей и уменьшению подвижности с ростом напряженности электрического поля.
Получим соотношение между дрейфовой скоростью и напряженностью электрического поля, опираясь на предположение о равенстве электронных температур верхней и нижней долинах Te. Величина энергетического зазора между минимумами зоны проводимости ∆E = 0,31 эВ для GaAs. Введем обозначения: m*1 и m*2 – эффективные массы, μ1 и μ2 – подвижности, n1 и n2 – концентрации электронов в нижней и верхней долинах, причем полная концентрация носителей заряда равна n = n1 + n2. Плотность стационарного тока в полупроводнике можно представить следующим образом:
 | (3.1) |
где v – средняя дрейфовая скорость
 | (3.2) |
так как μ1 >> μ2. Отношение заселенностей верхней и нижних долин, разделенных энергетическим зазором ∆E, равно:
 | (3.3) |
где R – отношение плотностей состояний и
 | (3.4) |
M1 и M2 – число верхних и нижних долин соответственно. Для GaAs M1 = 1, а число верхних долин равно 8, но они расположены у края зоны Бриллюэна, и поэтому M2 = 4. Используя значение эффективных масс электронов в GaAs m*1 = 0,067m0, m*2 = 0,55 m0, получим R=94.
Поскольку электрическое поле ускоряет электроны и увеличивает их кинетическую энергию, электронная температура Te превышает температуру решетки T. Электронная температура определяется с помощью времени релаксации энергии:
 | (3.5) |
где время релаксации энергии τe предполагается равным 10-12с. Подставив v из выражения (3.30) и n2/n1 из выражения (3.31) в последнюю формулу, получим
 | (3.6) |
Используя это равенство, можно рассчитать зависимость Te от напряженности электрического поля при заданной величине T. Из выражений (3.2) и (3.3) следует соотношение между дрейфовой скоростью и полем:
 | (3.7) |
Рассчитанные с помощью этих выражений типичные зависимости v от E для GaAs при трех температурах решетки приведены на рисунке.