работа исследование динамики упругого пространства, содержащего систему плоских включений работу (стр. 4 из 5)
После несложных действий над матричной системой (3.21) с учетом правил умножения матриц приходим к системе вида:
(3.24)С учетом (3.23) в итоге получаем
(3.25)где
дается соотношением (3.15), 
(3.26)Они имеют следующий вид:
(3.27) 
(3.28)
где x=iα31(h2-h1) и y=iα32(h2-h1).
3.3 СЛУЧАЙ ТРЕХ ВКЛЮЧЕНИЙ
Пусть упругое изотропное пространство ослаблено тремя плоскими включениями, расположенными на высотах h1, h2, h3.Сохраняя все предположения и обозначения из (3.1), решение данного частного случая проведем аналогичным образом.
Матричный вид системы будет следующим:
(3.31)в предположении, что
, m=1,2,3.Матрицы
имеют вид (3.22), где m=1,2,3.Т.о., если рассматривается краевая задача теории упругости I рода, т.е. при заданных на границе S напряжениях, то для получения перемещений на границе систему (3.31) необходимо разрешить относительно компонент U1, U2, U3.
Обозначим
.После несложных преобразований с учетом правил умножения матриц и введенных обозначений приходим к системе вида:
, (3.32)В общем виде система матричных уравнений (3.32) имеет вид:
(3.33)где матрицы
, 
имеют вид (3.18), (3.27) и (3.28) соответственно.Вычисление определителей:
Вычисление определителей матриц можно провести на основе метода Гаусса. Этот метод является наиболее простым и естественным для решения систем уравнений и основан на последовательном исключении неизвестных. Метод Гаусса имеет много различных вычислительных схем. Остановимся на описании соответствующей схеме единственного деления.
Пусть
(3.34)и пусть a11 
. Вынесем элемент из первой строки. Тогда, применяя следующие обозначения
, получим:
Затем из каждой строки отнимаем первую строку, умноженную соответственно на первый элемент этой строки. Очевидно, получим следующее:
Далее с оставшимся определителем (n-1) порядка поступаем совершенно таким же образом, если только
.Продолжая процесс, получим, что искомый определитель равен произведению ведущих элементов:
Если на каком-либо шаге окажется, что
или 
близко к нулю (что влечет за собой уменьшение точности вычислений), можно предварительно изменить порядок строк и столбцов определителя так, чтобы в левом верхнем углу оказался неисчезающий элемент. Наилучший в смысле надежности результат получится, если на каждом шагу процесса переводить в левый верхний угол наибольший по абсолютной величине элемент матрицы, для которой вычисляется определитель – схема единственного деления по главным элементам.Число умножений и делений, нужных для вычисления определителя nго порядка, равно (n-1)(n2+n+3)/3.
Схема единственного деления для вычисления определителей может применяться не только с исключением по строкам, но и по столбцам. Это равносильно вычислению определителя транспонированной матрицы по строкам. Получение нулей при вычислении определителя можно осуществить посредством линейного комбинирования строк матрицами вращения. Это требует значительно большего числа операций, но дает значительно более стабильный процесс. Для вычисления определителя можно так же разбить матрицу на клетки с квадратными диагональными клетками и затем “получить нули”. Разбиение матрицы на клетки, вообще говоря, не изменяет числа элементарных операций, необходимых для вычисления, но можно получить значительный выигрыш в объеме работы. В конце концов, искомый определитель окажется произведением определителей “ведущих” клеток.
4. ПОИСК ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПОЛЮСОВ
4.1 Случай одного включения
Для получения решения исходной задачи необходимо выполнить обратное преобразование Фурье.
Одним из способов вычисления обратных интегралов Фурье является метод, основанный на использовании теории вычетов. Применение этого метода требует исследования функции
и
на наличие нулей для различных значений частоты w.
Нули функции
можно найти аналитически, а для исследования 
необходимо проводить численные расчеты.В результате несложных преобразований для
найдены нули, которые равны 
.Для численного нахождения нулей функции
написана программа на языке С+ +, алгоритм которой заключается в следующем:Для различных значений частоты w, изменяющихся в пределах от 1 до 10 включительно с шагом 0.1, берутся различные b и методом дихотомии находятся такие значения b, при которых функция ∆2 обращается в нуль.
Исходя из равенств (3.5), берем во внимание только те значения β, которые удовлетворяют следующим условиям:
b<c1
c2<b<2c2 ,
т.к. на интервале (c1,c2) нули функции не будут вещественными.
Численные расчеты по данной программе показали то, что функция ∆2 не имеет вещественных нулей в указанном интервале.
4.2 Случай трех включений
Аналогично случаю одного включения, для решения краевой задачи об установившихся колебаниях упругого пространства необходимо вычислить и исследовать на наличие вещественных нулей определитель блочной матрицы коэффициентов системы (3.33):
Для проведения анализа поведения функции определителя матрицы С была написана программа, в которой для различных значений a1 и a2, изменяющихся в диапазоне от 0 до
, и различных высот 
включений находится определитель и строится график зависимости 
от a1 и a2.ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной работе исследовалась упругая задача для сред с включениями, напряженно–деформированное состояние которых определялось решением систем уравнений как относительно перемещений, так и относительно напряжений.
Было получено решение в образах Фурье задачи для пространства с одним, двумя и тремя включениями.
Для задач с одним и тремя включениями были найдены нули определителей частью аналитически, частью – численно – с помощью специально написанных программ на языке С+ +. Случай с тремя включениями был исследован для различных высот плоских включений относительно друг друга.
В дальнейшем предполагается выполнение обратного преобразования Фурье, рассмотрение случая многих включений, а также исследование задачи с включениями для полупространства и слоя.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ