работа исследование динамики упругого пространства, содержащего систему плоских включений работу (стр. 1 из 5)
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра математического моделирования
КУРСОВАЯ РАБОТА
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ УПРУГОГО ПРОСТРАНСТВА, СОДЕРЖАЩЕГО СИСТЕМУ ПЛОСКИХ ВКЛЮЧЕНИЙ
Работу выполнила Вербенко Н.П.
Группа 43 Факультет прикладной математики Специальность 0102
Руководитель работы к.ф.- м.н., доцент Рубцов С.Е.
Краснодар 2002
РЕФЕРАТ
Курсовая работа посвящена изучению методов решения краевых задач динамической теории упругости для неограниченных выпуклых областей с неплоской границей, частных случаев включений с плоской границей и ряда численных методов для применения к решению задач для сред с неоднородностями. А также проведению вычислений для плоских включений
Курсовая работа содержит 48 страниц, 4 рисунка и 3 приложения.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение 4
1. Задачи теории упругости 5
1.1. Вывод интегральных уравнений для полупространства 9
1.2. Полупространство с плоской границей 14
2. Постановка задачи для пространства с внутренними плоскими включениями 16
3. Решение задачи для пространства
3.1 Случай одного включения 19
3.2 Случай двух включений 24
3.3 Случай трех включений 27
4. Поиск вещественных полюсов
4.1 Случай одного включения 31
4.2 Случай трех включений 32
Заключение 33
Список литературы 34
Приложение 1 35
Приложение 2 39
Приложение 3 43
ВВЕДЕНИЕ
Динамические эффекты в различных средах в связи со своей теоретической и практической значимостью для различных областей деятельности человека стали на сегодняшний день одним из основных объектов изучения. Их исследование способствует решению многочисленных задач сейсмологии, физики Земли, машиностроения и техники в целом.
В данной работе описаны постановки смешанных задач теории упругости для неоднородностей в упругих изотропных средах и решена задача для пространства для случая одного и двух включений. В качестве неоднородностей рассматриваются включения, для которых соотношения между напряжениями и перемещениями на границах сводятся к системам интегральных уравнений, которые в свою очередь преобразуются к матричному представлению. Для исследования распределения нулей определителей в зависимости от различных условий на параметры включения написана программа на языке С+.+. Приведены некоторые из полученных расчетов.
1. ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Колебания упругой среды (в перемещениях) описываются уравнениями Ляме:
, (1.1)где λ, μ – константы Ляме, положительность которых обеспечивает обратимость закона Гука, ρ – плотность среды.
Вектор
(x1, x2, x3, t)=(u(x1, x2, x3, t), v(x1, x2, x3, t), w(x1, x2, x3, t))T – вектор перемещений.Рассматриваемая упругая среда может быть пространством, полупространством (в том числе стратифицированным), слоем или пакетом слоев.
Механическое состояние упругого тела, занимающего в начальном состоянии известный объем V с ограничивающей поверхностью S, характеризуется компонентами тензора деформации εij и тензора напряжений σij. Перемещения в точках тела, под действием заданной системы поверхностных и объемных сил, описываются вектором перемещений
и представляют собой непрерывные и однозначные функции координат и времени. Механическое состояние упругого тела характеризуется также вектором напряжений τ 
, возникающих в упругом теле на некоторой элементарной площадке с нормалью 
. Вектор τ выражается через компоненты тензора напряжений 
.Вектор напряжений τ можно выразить через перемещения 
=T , где Т – линейный дифференциальный оператор напряжений. В изотропном случае
.В случае установившихся колебаний зависимость всех характеристик задачи от времени t описывается множителем
, а уравнения линейной упругости, описывающие установившийся закон колебаний, имеют вид: 
, (1.2)Для постановки задач теории упругости должны быть заданы, индивидуальные для конкретных задач, граничные условия, а в случае динамических задач – еще и начальные условия.
Интегральное представление решения задачи строится на основе интегральных соотношений между напряжениями и перемещениями, существующих для упругих сред. При этом используется формула Бетти в виде
(1.3)здесь
В этом соотношении вектор–функции u, v–произвольные дважды непрерывно дифференцируемые. Область W может быть неограниченной с гладкой границей.
Вводится система следующих векторов
(1.4) 
Эти векторы формируют матрицу
(1.5)В соотношении (1.2) вместо произвольного вектора u вносится решение дифференциального уравнения
(1.6), а вместо вектора v –матрицу V . Тогда соотношение (1.2) порождает не скалярное, а векторное выражение.
Выражение
имеет вид
(1.7)Матрицу справа обозначим как В, тогда векторы
– формируемые строками этой матрицы. Можно записать
(1.8)Вычисляются векторы
. В результате вычислений будут получены формулы
(1.9)здесь для m=1, 2, 3 берется соответственно по порядку n=2 , p=3; n=1, p=3; n=1, p=2;
Внося в эти соотношения вместо u значения векторов
, получаем
(1.10)Вектор напряжений, действующих на границе S, будем обозначать
(1.11)где Tk –проекции вектора напряжений на направления осей xkсоответственно.
Вычисляя вектор Tu на границе S с учетом (1.9) и соотношения
получаем выражение для вектора Tu :
Tu=T0(1.12)
Внося соотношения (1.9) , (1.10) , (1.12) , в (1.2) для каждого вектора, и вектора решения уравнения (1.2) приходим к соотношению
(1.13)Где I–единичная матрица третьего порядка.
Если разрешить соотношения (1.13) относительно тройного интеграла в левой части, то получим преобразование Фурье искомого решения краевой задачи для дифференциального уравнения (1.6). Оно будет зависеть как от значения вектора перемещений на границе области, так и от вектора напряжений. Так как в любой области на границе S может быть задан согласно постановке задачи теории упругости лишь один из этих векторов, то между компонентами вектора перемещений и напряжений на границе должны существовать определенные зависимости.
1.1. ВЫВОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА
Для вывода интегральных уравнений для полупространства с выпуклой границей рассмотрим следующую матрицу
(1.14)Ее определитель D после вычислений принимает вид
(1.15)Вычисляем обратную к (1.14) матрицу
(1.16)В дальнейшем элементы матрицы (1.16) будут обозначаться ckm .
Таким образом, имеем
(1.17) 