Расчет оценок показателей достоверности приема дискретной информации. Проектирование кодера и декодера бчх-кода (стр. 2 из 4)
а=0,5
3,8Ф(а)= 0.4999346
Pош=1/2(1-2Ф(а))= 6.54*10-5
Ответ: Вероятность ошибки на символ Рош=6,54*10-5
2. Оценки вероятности трансформации кодовой комбинации Ртр,
вероятности подавления Рпод и вероятности правильного приема Рпр.
Для расчета показателей достоверности приема кодовой информации разрядности n принята биномиальная модель источника ошибок в канале связи. Эта модель характеризуется следующим:
· Ошибки симметричны, т.е. Р(1)=Р(0)=0,5
· Ошибки независимы, т.е. вероятность ошибочного приема символа на j-ой позиции кодовой комбинации не зависит от наличия или отсутствия ошибок на ранее переданных позициях кодовой комбинации.
При этих двух условиях вероятность любой ошибки i-ой кратности в канале связи в случае передачи n-разрядной кодовой комбинации определяется выражением
Рн=(i)=
где рош – вероятность ошибки при приеме символа.Число всех ошибок i-ой кратности равно числу сочетаний из n по i
Вероятность всех ошибок i-ой кратности:
P(i)= 
- зто выражение есть биномиальный закон распределения лучайной величины i. Отсюда название модели – биномиальная.
Если при передаче информации используется код с обнаружением ошибок, то трансформация кодовой комбинации происходит только тогда, когда ошибка, произошедшая в канале связи не обнаруживается кодом. Вероятность трансформации определяется выражением
Ртр=
где Wi необн число необнаруживаемых ошибок i-ой кратности: 
при 1 
где dmin – минимальное кодовое расстояние избыточного кода и 
, при i 
величину Ртр можно оценить сверхуPтр=
Вероятность того, что приемник обнаружит наличие ошибок при приеме кодовой последовательности и откажется от декодирования(подавление кодовой последовательности) определяется по формуле:
Pпод=
Pпод 
Вероятность правильного приема определяется по формуле:
Pпр=P(i=0)=(1-pош)n=(1-6,54*10-5)31=0.998
3. Расчет вероятности правильного приема
Вероятность правильного приема определяется выражением
Pпр=(1-pош)n
Pпр=(1-6.54*10-5)31=0.999
И в соответствии с биномом Ньютона
Pпр=
.Если эту функцию разложить в ряд Маклорена, то получится степенной знакопеременный ряд с числом членов n+1, совпадающий с разложением по биному Ньютона. Поэтому для расчета Pпр с конечной точностью , при учете что 0<Pош<1, можно ограничиться вычислением не всех членов ряда. Полученный сходящийся (область сходимости pош<1) и знакопеременный, следовательно остаток Ri=Pпр-Pпрl, где Pпр – сумма всех членов ряда, Pпрl – сумма первых l членов ряда, имеет знак первого отброшенного члена и меньше его по абсолютной величине.
Величина δPпр=
- относительная погрешность вычислений вероятности правильного приема Pпр. Тогда δPпр=
Учитывая что Rl<<Pпрl получим δPпр 
.
Если
задано, например как 
, то к - число членов ряда необходимое для вычислений с заданной точностью, можно определить из неравенства: 
где 
Выполним расчет с одним членом ряда
Возьмем к=1, разрядность кода n=31 и Рош=6,54*10-5
= 
=
=0.02 
<1%Следовательно k=1 оказалось достаточно.
Получаем расчет с допустимой погрешностью.
Отсюда Pпр=(1-Рош)n=1-nPОш=0.999
4. Расчет dmin минимального кодового расстояния. Расчет оценок Pтр, Pпод, Pпр.
При фиксированном n-числе разрядов, вычисленном значении Pош и заданной вероятности трансформации Pтр зад величина минимального кодового расстояния определяется из формулы верхней оценки Pтр.
где q=1-PошОтсюда dmin не получается в явном виде, и требуется много вычислительной работы.
Поэтому найдем dmin из неравенства
Будем задаваться различными значениями dmin, до тех пор, пока не подберем походящее. И каждый раз будем рассчитывать (1-Pош)n-dmin с допустимой точностью 1 %.
Возьмем dmin=1
Тогда
(1-Pош)n-1=1-(n-dmin)Pош=0.99804
6.20229*10-6 %<1%, следовательно, вычисления сделаны с допустимой точностью.
Оценим вероятность трансформации кодовой комбинации сверху:
Так, как
<2.025*10-3 dmin=1 не подходит.Возьмем dmin=2
(1-Pош)n-2=1-(n-dmin)Pош=0.9981
=5.98842*10-6 %<1%следовательно, вычисления сделаны с допустимой точностью.
Оценим вероятность трансформации кодовой комбинации сверху:
dmin=2 тоже не подходит так, как 10-11< 1.986*10-6
Возьмем dmin=3
(1-Pош)n-3=1-(n-dmin)Pош=0.99817
=5.77454*10-6 %<1%следовательно, вычисления сделаны с допустимой точностью.
Оценим вероятность трансформации кодовой комбинации сверху:
dmin=3 тоже не подходит так, как 10-11< 1.256*10-9
Возьмем dmin=4
(1-Pош)n-4=1-(n-dmin)Pош=0.99823
=5.56067*10-6 %<1%следовательно, вычисления сделаны с допустимой точностью.
Оценим вероятность трансформации кодовой комбинации сверху:
dmin=4 подходит так, как 10-11> 574.811*10-15
Отсюда оценки показателей достоверности имеют вид:
Pтр=574.811*10-15
Pпр=0.99823
Вычислив
, оценку вероятности подавления кодовой комбинации определим по формулеРпод=1-Рпр-Ртр=1-0.99823- 574.811*10-15=1.77*10-3
5. Выбор БЧХ кода
В примитивном двоичном БЧХ-коде n=2m-1. Откуда при заданном n выбирается величина m. Если в результате расчета получено dmin – нечетное число, выбираем генераторный полином g(x) из следующих соображений: dmin=2t+1; корнями многочлена g(x) являются α, α3,…α2t-1. По таблицам Марша при полученном m находим m1(x), m3(x),...,m2t-1(x) – минимальные функции для α, α3,…α2t-1. После чего g(x) определяется как наименьшее общее кратное минимальных функции.
g(x)=НОК[m1(x), m3(x),...,m2t-1(x)].
Если в результате расчета получено dmin – четное число, то dmin=2t+2. корнями многочлена g(x) являются 1, α, α3,…α2t-1 . И g(x)=НОК[(x+1)m1(x), m3(x),...,m2t-1(x)].
генераторный полином полностью определяет БЧХ – код, его кодер и декодер (в режиме обнаружения ошибок).
В нашем случае dmin=4, следовательно dmin=2t+2 и g(x)=НОК[(x+1)m1(x), m3(x),...,m2t-1(x)].
Т.к. dmin=4 то 4=2t+2, отсюда t=1 и 31=2m-1, m=5
g(x)=НОК[(x+1)m1].
m1(x)=45=100101=x5+x2+1=x6+x5+x3+x2+x+1