В. М. Гальперин, С. М. Игнатьев, В. И. Моргунов "Микроэкономика" (стр. 24 из 115)

DYⁱ = Рⁱ_XDХⁱ,

где Рⁱ_X - ордината компенсированной линии спроса d(U₁). Таким образом, величина DYⁱ примерно равна площади заштрихованного прямоугольника в нижней части рисунка.

Каждому отрезку DYⁱ соответствует свой прямоугольник в нижней части рисунка (изображены только 3 из них). Сумма площадей всех n таких прямоугольников примерно равна площади трапеции OBFX₁. Увеличивая n, приходим к выводу, что Y₁A в верхней части рисунка соответствует площади трапеции OBFX₁ в нижней его части.

Y₁K₁ в верхней части рисунка соответствует площади прямоугольника OP_XFX в его нижней части, поскольку и то и другое равно стоимости X₁ единиц товара X при его цене, равной Р_X- Следовательно, компенсирующая вариация дохода V_c, равная в верхней части рисунка K₁А, в нижней его части соответствует площади треугольника Р_XBF, т. е. фигуры, ограниченной сверху компенсированной линией спроса d(U₁), слева - вертикальной осью и снизу - линией цены.

Аналогичным образом можно показать, что эквивалентная вариация дохода V_e, равная в верхней части рисунка K₂K₁, в нижней его части соответствует площади треугольника Р_XCH, т. е. фигуры, ограниченной сверху компенсированной линией спроса d(U₂), слева - вертикальной осью и снизу - линией-цены.

Напомним, что маршаллианский потребительский излишек равен площади треугольника Р_XCF в нижней части рис. 3.25. Площадь Р_XCF меньше площади Р_XBF, но больше площади Р_XCH. Таким образом, в рассмотренном случае маршаллианский потребительский излишек меньше V_с, но больше V_e, или, другими словами, маршаллианский потребительский излишек заключен между V_с и V_e.

Различия между V_с, V_e и маршаллианским потребительским излишком тем больше, чем больше эффект дохода.

Допустим, что эффект дохода равен нулю, т.е. с ростом дохода объем спроса потребителя на данный товар не изменяется. В этом случае кривые безразличия имеют вид как в верхней части рис. 3.26.

При всяком значении X наклоны кривых безразличия совпадают.

Например, наклон кривой U₁ в точке E₁ равен наклону кривой U₂ в точке E₂, наклон кривой U₁ в точке А равен наклону кривой U₂ в точке K₁ и т.д. Вертикальные расстояния между кривыми U₁ и U₂ при всех значениях X одинаковы.

В таких ситуациях говорят, что кривые U₁ и U₂ вертикально параллельны друг другу. Нетрудно убедиться, что при такой конфигурации кривых безразличия компенсирующая вариация, равная K₁А, совпадает с эквивалентной вариацией, равной K₂K₁.

В нижней части рис. 3.26 линия CF представляет собой одновременно и обыкновенную линию спроса D, и компенсированную линию спроса d(U₁), и компенсированную линию спроса d(U₂). Площадь треугольника Р_XCF равна одновременно и маршаллианскому потребительскому излишку, и компенсирующей вариации, и эквивалентной вариации.

ПРИМЕЧАНИЯ

^[1] Он назван так в честь английского экономиста А. Маршалла, внесшего значительный вклад в разработку этого понятия.

^[2] См., например: Just R. E., Hueth D .L., Schmitz A. Applied welfare economics and public policy. Englewood Cliffs, 1982. Ft 5.

^[3] Хикс Дж. Четыре излишка потребителя // Теория потребительского поведения и спроса. СПб., 1993. (Вехи экономической мысли; Вып. 1).

^[4] В настоящем учебнике определения компенсирующей и эквивалентной вариаций даны только применительно к ситуациям, когда потребитель лишается возможности приобретать данный товар. В работах по экономике благосостояния эти определения даются применительно к гораздо более широкому кругу ситуаций. См., например: Just R. E., Hueth D. L., Schmitz A. Applied welfare...

3.8 Индексы цен и реального дохода

Нас часто интересуют изменения в стоимости жизни в связи с изменениями доходов и (или) цен.

Допустим, что расходы потребителя равны его доходам и составляют в начальном (базисном) периоде:

I⁰ = ∑q⁰p⁰

а в текущем:

I^t = ∑q^tp^t

Здесь верхний индекс 0 соответствует показателям базисного, а индекс t - текущего периода; q и р - соответственно количества покупаемых товаров и их цены, индексы товаров опущены, поскольку знак ∑ подразумевает сумму расходов на приобретение всего множества товаров (потребительской корзины).

Для оценки изменения стоимости жизни в текущем периоде по сравнению с базисным следует определить индексы номинального дохода и цен.

Индекс номинального дохода определить легко, он составит:

M_I = I^t/I⁰ (3.19)

Индекс цен может быть определен двумя способами: как индекс Ласпейреса:

P_L = ∑q⁰p^t/ ∑q⁰p⁰ (3.20)

и как индекс Паше:

P_P = ∑q^tp^t/ ∑q^tp⁰ (3.21)

названные так по имени немецких статистиков Э. Ласпейреса (1834-1913) и Г. Пааше (1851-1925).[1]

Индекс Ласпейреса предполагает взвешивание цен двух периодов по объемам потребления товаров в базисном, а индекс Пааше - по объемам их потребления в текущем периоде.

Однако ни тот ни другой индекс не дают верного представления об изменении цен, поскольку они не учитывают влияния этого изменения на структуру потребления.

Очевидно, что если (в обычной двухпродуктовой модели) цена товара X возрастает (P^t_X > P⁰_X), то покупки его снижаются (q^t_X < q⁰_X) и, наоборот, при снижении цены (p^t_X < p⁰_X) покупки увеличиваются (q^t_X > q⁰_X). Поэтому значение индекса Ласпейреса, использующего в качестве весов объемы q⁰, дает преувеличенное представление об изменении цен в случае их роста, но преуменьшенное в случае их снижения. Наоборот, значение индекса Пааше, где в качестве весов используются объемы q^t, дает преуменьшенное представление об изменении цен в случае их роста, но преувеличенное в случае их снижения. И в любом случае индекс Ласпейреса оказывается выше индекса Пааше (P_L > P_P).

Можно показать, что положение потребителя в текущем периоде будет лучше, чем в базисном, если индекс Ласпейреса окажется ниже индекса номинального дохода:

I^t/I⁰ > = P_L (3.22)

Можно показать также, что положение потребителя в текущем периоде будет хуже, чем в базисном, если индекс Пааше окажется выше индекса номинального дохода:

I^t/I⁰ < = P_P (3.23)

Рассмотрим сначала индекс Ласпейреса. Если ∑q⁰p^t ≤ I^t,первоначальный набор товаров (вектор q⁰), очевидно, доступен потребителю и при текущих ценах (вектор p^t ) и доходе I^t.

Значит, и в изменившихся условиях потребитель мог бы по-прежнему покупать первоначальный набор q⁰.

Если же фактически в текущем периоде он покупает иной набор (вектор q^t ), то либо:

∑q⁰p^t < ∑q^tp^t, (3.24)

это означало бы, что набор q^t принадлежит более высокой кривой безразличия, т.е. сулит потребителю большее удовлетворение, чем набор q⁰, либо:

∑q⁰p^t = ∑q^tp^t, (3.24*)

это означало бы, что наборы q⁰ и q^t имеют равную стоимость, т.е. принадлежат одной и той же бюджетной прямой, но потребитель явно предпочитает набор q^t, сулящий ему большее удовлетворение, т.е. принадлежит более высокой кривой безразличия.

Разделив обе части (3.24) на ∑q⁰p⁰, имеем:

∑q⁰p^t/ ∑q⁰p⁰ = ∑q^tp^t/ ∑q⁰p⁰ (3.25)

Левая часть (3.25) представляет индекс цен Ласпейреса, правая - индекс номинального дохода. Следовательно: P_L < M_I.

Таким образом, утверждение (3.22) доказано. Его можно иллюстрировать графически.

На рис. 3.27 первоначальный доход и цены товаров представлены бюджетной прямой I⁰I⁰:

I⁰ = ∑q⁰p⁰ = q⁰_Xp⁰_X + q⁰_Yq⁰_Y (3.26)

доход и цены текущего периода - бюджетной прямой I^tI^t:

I^t = ∑q^tp^t = q^t_Xp^t_X + q^t_Yp^t_Y (3.27)

Первоначальному оптимуму потребителя соответствует точка А (q⁰_X, q⁰_Y), текущему - точка В (q^t_Xx,q^t_Y):

Новая бюджетная прямая I^tI^t, как и первоначальная I⁰I⁰, проходит через точку А, что свидетельствует о доступности для потребителя прежнего оптимального набора А в изменившихся условиях. Однако при тех же самых расходах I^t потребитель может достигнуть более высокой кривой безразличия U₂U₂, перейдя из точки А в точку В. Таким образом, из двух равных по стоимости наборов он выбирает тот, который сулит ему большее удовлетворение. И значит, при новом уровне дохода и цен (I^t, p^t) положение потребителя улучшается.

Теперь рассмотрим индекс Пааше. Если ∑q⁰p⁰ > ∑q^tp⁰, набор q^t, выбираемый в период t, был доступен потребителю и в период 0. И если тогда он предпочитал все же набор q⁰, то лишь потому, что последний сулил ему большее удовлетворение, принадлежал к более высокой кривой безразличия.

Разделив обе части неравенства на ∑q^tp^t получим:

∑q⁰p⁰/ ∑q^tp^t > ∑q^tp⁰/ ∑q^tp^t (3.28)

или, иначе:

∑q^tp^t/ ∑q⁰p⁰ < ∑q^tp^t/ ∑q^tp⁰ (3.29)