p1 + tx = p2 + ty. (12.11)
Другая связь величин х и у определяется заданным тождеством:
а + х + у +b = l. (12.12)
Подставляя значения у и х (поочередно) из (12 12) в (12.11), получим:
x = 1/2[l √ a √ b √ (p2 - p1)/t], (12.13)
y = 1/2[l √ a √ b √ (p1 - p2)/t].
Тогда прибыли магазинов А и В будут:
p1 = p1q1 = p1(a + x) = 1/2(l + a - b)p1 - (p12/2t) + (p1p2/2t), (12.14)
p2 = p2q2 = p2(b + y) = 1/2(l - a + b)p2 - (p22/2t) + (p1p2/2t).
Каждый магазин устанавливает свою цену так, чтобы при существующем уровне цены в другом магазине его прибыль была максимальной. Дифференцируя функции прибыли (12.14) по p1 и соответственно по p2 и приравнивая производные нулю, получим:
dp1/dp1 = 1/2(l + a - b) √ (p1/t) + (p2/2t), (12.15)
dp2/dp2 = 1/2(l - a + b) √ (p2/t) + (p1/2t)
откуда:
p*1 = t[l + (a - b)/3], (12.16)
p*2 = t[l + (b - a)/3],
q*1 = a + x = 1/2[l + (a - b)/3], (12.17)
q*2 = b + y = 1/2[l + (b - a)/3].
Условия второго порядка d2p1/dp12 < 0 и d2p2/dp22 < 0, необходимые для максимизации прибыли, также, очевидно, выполняются.
В пространстве цен p2Op1 цены p*1 и p*2 являются координатами точки равновесия Е (рис. 12.9). На этом рисунке воспроизведен числовой пример Хотеллинга, в котором l = 35, а = 4, b = 1, x = 14, у = 16 . При таких параметрах линейного города цены магазинов А и В, согласно (12.16), будут:
p*1 = 1[35 + (4 - 1)/3] = 36,
p*2 = 1[35 + (1 - 4)/3] = 34.
Ими будет продано (единиц продукции), согласно (12.7),
q*1 = 1/2[35 + (4 - 1)/3] = 18,
q*2 = 1/2[35 + (1 - 4)/3] = 17.
Точка Е принадлежит пересечениям линий, вдоль которых производные прибыли каждого из двух магазинов по его собственной цене равны нулю, и изопрофит при ценах p*1 и p*2.
При этом, согласно (12.14), p1 =36 ∙ 18 = 648,3, а p2 = 34 ∙17 = 578 . (При предположении о нулевых затратах магазинов p = TR).
Модель линейного города Хотеллинга была по существу теоретико-игровой моделью, в которой на первой стадии игры каждый игрок выбирает свое местоположение "на линии", а на второй - цену.
Особую роль в этой модели играют транспортные расходы, которые несут покупатели.
Именно они наделяют "пространственных конкурентов" определенной монопольной властью в отношении ближайших потребителей и ослабляют их влияние на более отдаленных. В пределе при t ╝ 0 модель пространственной конкуренции редуцируется в модель совершенной конкуренции, цены приближаются к предельным затратам, а линейный город вновь "аннигилирует" в точку.
Важным следствием модели линейного города Хотеллинп является так называемый принцип минимальной дифференциации: "Покупатели повсюду сталкиваются с избытком однообразия".[8] Линейный рынок Хотеллинга ограничен, и на нем есть место лишь для двух продавцов (рис. 12.8). Ясно, что если они расположились сначала в точках А и В, то у них появляется стимул к смещению в центр рынка (Е). Двигаясь по направлению к центру, каждый присоединяет к своей клиентуре покупателей конкурента (принадлежащих к сегментам х и соответственно у), не теряя при этом своих покупателей на противолежащих сегментах а и b. В равновесии оба продавца окажутся в центре, т. е. будут минимально пространственно дифференцированы.
Этот эффект минимальной дифференциации противоположен эффекту избыточного разнообразия в модели монополистической конкуренции, когда рынок достаточно велик.
Проявления принципа минимальной дифференциации многочисленны и многообразны.
"Высочайшая стандартизация нашей обстановки, наших домов, нашей одежды, наших автомобилей и нашего образования в большой мере обусловлены экономичностью крупномасштабного производства, частично модой и подражанием. Но прежде всего это следствие того, что мы обсуждали, - тенденции допускать лишь небольшие отличия с тем, чтобы привлечь к новому товару столь же много покупателей, сколько привлекал и старый, дать ему, так сказать, место среди его конкурентов и массы потребителей".[9]
Тенденция к минимуму дифференциации имеет столь общий характер, что она приложима к самым разным сферам конкуренции, порой весьма далеким от собственно экономики. В качестве примера Хотеллинг указывает на политическую борьбу за голоса избирателей между демократами и республиканцами в США. Вместо того чтобы занимать и представлять две явно противоположные позиции, между которыми и должны бы сделать выбор избиратели, каждая из двух партий старается представить свою избирательную платформу настолько похожей на платформу другой, насколько это только возможно.
Всякое радикальное отклонение от центральной позиции приведет к потере большого числа голосов, даже если оно обеспечит большую поддержку партии со стороны тех, кто и без того голосовал бы за нее. Каждый кандидат ведет себя осторожно, отвечая двусмысленно на задаваемые вопросы. Боясь потерять голоса избирателей, он отказывается занять (выявить) определенную позицию по любому вопросу, вызывающему разногласия среди избирателей. Как продавцы в линейном городе Хотеллинга стремятся в его центр, так и кандидаты двух партий стремятся к центру политического спектра.
Действительные различия между избранными, если они и существуют, выявляются лишь с течением времени, постепенно, когда та или иная проблема становится актуально важной.[10] Эти соображения о характере политической конкуренции послужили позднее основой так называемой теоремы о медианном избирателе, которую мы обсудим в разделе 16.4. Пока лишь заметим, что в их справедливости российские избиратели убедились, участвуя в серии демократических выборов 90-х гг.
12.7.2. МОДЕЛЬ ГОРОДА НА ОКРУЖНОСТИ
Другим вариантом модели пространственной дифференциации Рынка является модель города на окружности, восходящая к С. Сэлопу.[11] Прообразом этой модели является город, вытянувшийся вдоль берега острова (или, наоборот, внутреннего озера), имеющего округлую форму, либо, наконец, мегаполис, в котором все супермаркеты вынесены на периферию и расположены вдоль кольцевой магистрали. Рассмотрим город, вытянувшийся на окружности единичной протяженности (2pP = 1), вдоль которой равноудаленно друг от друга размещаются N торговых точек (или лавок В. С. Войтинского). Также вдоль окружности равномерно, с единичной плотностью размещено население города (L домохозяйств); все eгоj перемещения происходят также по окружности и обходятся кале-дому в t денежных единиц за единицу расстояния (скажем, такова плата за один тарифный участок на общественном транспорте).
Графическая модель такого города представлена на рис. 12.10 где местоположение торговых точек показано квадратиками.
Очевидно, что при любом N расстояние между двумя равноудаленными друг от друга магазинами составит 1/N . В силу равномерного распределения населения на окружности ни один из покупателей не будет отстоять от ближайшего к нему магазина далее чем на расстояние, равное 1/2N, так что среднее расстояние, которое придется преодолевать покупателю до ближайшего магазина, составит 1/4N и, следовательно, в оба конца ему придется преодолевать расстояние 1/2N. Каждый покупатель совершает в магазине одну закупку в день, а каждый торговец имеет функцию затрат С = F + cQ, где С = ТС, F = ТFС, с = МС, так что его средние затраты можно представить как АТС = F/Q + с. Последнее означает, что чем большее число покупателей обслуживает магазин, тем ниже его средние затраты. Поскольку расстояние между магазинами с ростом их количества сокращается, общие транспортные расходы можно представить как убывающую функцию количества магазинов. При тарифе t за единицу пути общие транспортные расходы, Сt, будут равны произведению численности домохозяйств на среднюю стоимость поездки в магазин и обратно:
Сt = tN/2N. (12.18)
Общие расходы на покупку товаров, Сg, также зависят от числа домохозяйств и магазинов:
Сt = Lc + NF, (12.19)
где первое слагаемое представляет общую сумму предельных затрат, оплачиваемых покупателями, а второе - общие постоянные затраты всех магазинов. Чтобы определить оптимальное количество магазинов, необходимо минимизировать сумму:
С = Сt + Сg.
Обе функции затрат, (12.18) и (12.19), показаны на рис. 12.11, где N* - минимизирующее С число магазинов. При таком их количестве наклон кривой Сg по своей абсолютной величине равен наклону кривой Сt Таким образом, оптимальное число магазинов, N*, должно удовлетворять условию: