Сегодня все эти теории составили основу большой новой области математики – вещественной алгебраической геометрии, где переход от топологии кривых к топологии четырехмерных многообразий доставляет также полезные связи с квантовой теорией поля, с симплектической геометрией и с инвариантами Флоера-Виттена-Громова (о которых шла речь выше).
И всё это – развитие замечательных идей И.Г. Петровского, который первым понял все значения фундаментальной проблемы Гильберта и первым после Гильберта не побоялся исследовать её.
Д – 19. Вы были кандидатом на Филдсовскую медаль 1974 года, но, как Вы пишите в своей книге, не получили её, поскольку представлявший Советский Союз в Филдсовском Комитете Лев Семёнович Понтрягин ультимативно заявил что « … если присуждение медали Арнольду состоится, то СССР выйдет из Международного Математического Союза». Не думаете ли Вы, что (неизбежно) субъективные решения подобных вопросов (о присуждении или не присуждении той или иной награды) негативно влияют на развитие математики ?
А. Я много раз писал уже и повторю ещё раз: по моему мнению, Нобелевские премии, медали Филдса и другие подобные награды оказывают, к счастью, мало влияния на поступательное развитие нашей науки. Так ли задержало развитие Нового Света то, что его назвали Америкой, а не Колумбией ?
После Понтрягина одним из следующих представителей России в Филдсовском Комитете назначили В.И. Арнольда. И, хотя я однажды даже вышел из состава Комитета в знак протеста против несправедливого, по моему мнению, решения, даже это (несправедливое) решение не принесло столь уж большого вреда.
А.Н. Колмогоров сказал мне как-то, что бόльшее значение для математика, чем всевозможные премии и выборы во всевозможные научные академии, играет избрание в Почётные Члены Лондонского Математического Общества – здесь дискриминация минимальна, и список почётных членов сильнее любого списка академиков, лауреатов медалей Филдса и т.п.
Он сказал мне это, когда меня избрали таким почётным членом ЛМО – и, как он и предвидел, десяток Академий разных стран так же выбрали меня в свои иностранные члены (через несколько лет).
Для себя я расцениваю все подобные награды как своеобразный дождь: он может быть и стихийным бедствием, и подарком Данае от Зевса.
В одном недавнем очерке о награждении Арнольда (в «Троицком варианте» №8, 2008) я прочитал, что и сам-то Владимир Игоревич – это просто стихийное бедствие, критиковать которое столь же бесполезно, как и критиковать Везувий за его извержения. Я говорю это здесь не для характеристики Арнольда, а о премиях: то, что они существуют, что научная деятельность человечеством может быть иногда вознаграждена, оказывает, вероятно, скорее, положительное влияние на развитие наук (хотя хорошие открытия делаются не ради премий, а зачастую ими и не награждаются).
В актовом зале Математического института имени В.А. Стеклова висят портреты работавших в нём академиков, но до сих пор отсутствует портрет Алексея Николаевича Крылова, основавшего институт, и портрет Якова Викторовича Успенского (учителя Ивана Матвеевича Виноградова, который добился оставления последнего в аспирантуре, несмотря на отсутствие самостоятельных научных результатов в студенческие годы: «Верно, результатов ещё нет, но я, Успенский, говорю вам: они будут»).
Именно Крылов (вместе со своим другом Л.И. Мандельштамом, о котором я писал выше) посоветовали Сталину назначить президентом АН СССР Сергея Ивановича Вавилова, несмотря на то, что его гениальный брат, Николай Иванович, погиб в тюрьме.
А Успенский передал в Кембридж, в Кавендишскую лабораторию П.Л. Капице письмо от Крылова, чтобы тот опасался своих ежегодных возвращений в Россию, так как Сталин собирается однажды его не отпустить обратно (об этом подробно написано в книге «Мои воспоминания», опубликованной недавно внуком Крылова, Сергеем Петровичем Капицей).
П.Л. Капица все же возвращался ежегодно, а вот сам Успенский внял предупреждению Крылова и не вернулся (в 1929 году), отчего и «исчез» из списков на стене МИАН.
Негативно влияет на развитие науки (в том числе, и математики) невозможность прокормить своих детей нищенской зарплатой – вклад в это влияние несправедливых награждений составляет ничтожную долю этой беды (из-за которой лучшие ученики, которые у нас всё ещё появляются, вынуждены искать работы за границей).
Д – 20. Как обмолвился в своём интервью Марко Иосифович Вишик, у Вас «также» были «сложные отношения» с зав. кафедрой Ольгой Арсеньевной Олейник. Возможно ли подобное во взаимоотношениях между руководителем и авторитетнейшим подчинённым в западных университетах, скажем, в той же Сорбонне ?
А. Об Ольге Арсеньевне Олейник я хотел бы сказать здесь хорошее – оно известно куда меньше, чем её (очевидные) недостатки.
Диссертация Ольги Арсеньевны, написанная по следам пионерских работ её учителя, Ивана Георгиевича Петровского, заложивших основу вещественной алгебраической геометрии, ценились ею самою ниже последующих работ по уравнениям с частными производными, и мало кто о ней знает.
Между тем, эта замечательная работа обогнала уровень науки своего времени на десятилетия и не была должным образом оценена именно вследствие этого. (Правда,
А.Г. Витушкин вывел из этих работ Олейник свое решение 13-й проблемы Гильберта для гладких функций, но и он почему-то в конце жизни забывал на неё ссылаться).
Основной целью этой работы было исследование топологических свойств вещественных алгебраических многообразий фиксированной степени в вещественных проективных пространствах. Для кривых на плоскости аналогичная работа была выполнена двадцатью годами раньше И.Г. Петровским, но случай поверхностей ему не поддавался. Теоремы Ольги Арсеньевны оценивали числа Бетти этих многообразий некоторыми сложно выписываемыми многочленами от степеней их уравнений.
В 1965 году мои друзья Дж. Милнор (в США) и Р. Том (в Париже) прислали мне свои (независимые друг от друга) препринты об этих числах Бетти. При сравнении с результатами Ольги Арсеньевны (которых они не знали) я обнаружил, что, хотя их оценки и выглядят приятнее, они во много раз слабее полученных Ольгой Арсеньевной оценок.
Том и Милнор доказывали неравенство b<1 000 000, когда у Олейник было b≤98. Более того, неравенства Олейник достигаются (при подходящем выводе коэффициентов уравнения числа Бетти достигают указанных ею оценок), тогда как неравенства Тома и Милнора нереалистично завышены. Я тотчас послал обоим друзьям - филдсовским лауреатам - информацию о статьях Ольги Арсеньевны, и они успели вставить ссылки на эти статьи в свои опубликованные работы. Но и сегодня неравенства Олейник на Западе цитируются под именем «неравенства Милнора-Тома».
Удивительным образом я встретился с теми же неравенствами еще раз по совсем другому поводу. Живя ещё в Москве, Израиль Моисеевич Гельфанд пригласил меня раз к себе, чтобы обсудить свои сложные результаты в теории представлений групп. Сложность состояла в том, что ответы доставлялись очень длинной формулой (занимавшей много страниц), и Израиль Моисеевич предположил (с обычной своей интуицией), что формулы такого рода могут быть связаны с моей областью математики – теорией особенностей гладких отображений.
Он угадал верно – посмотрев несколько минут на его формулы, я понял, что уже раза три встречал их в разных областях математики, в том числе и в диссертации Ольги Арсеньевны, где они использовались для оценок чисел Бетти.
Сущность дела состоит в следующем. Рассмотрим десять точек на плоскости. Их выпуклая оболочка представляет собой многоугольник. Площадь этого выпуклого многоугольника выражается через двадцать координат этих точек. Но это явное выражение записывается довольно сложно: ведь даже записать координаты вершин выпуклой оболочки заданных точек не так уж просто !
Если же точек не десять, а с сотню, и лежат они не на плоскости, а в пятимерном пространстве, то формулы становятся совсем сложными – они-то и испугали Гельфанда.
Мой совет состоял в том, что, вместо длинных формул, надо писать «объём выпуклой оболочки таких-то точек» (или, иногда, «смешанный объём Минковского») - и все формулы заменятся простой геометрией (разработанной, вдобавок, моими учениками, Хованским и Варченко, под именем «теории многогранников Ньютона», так как Ньютон считал изобретение этой науки своим лучшим вкладом в математику, опубликовав его даже в виде «длинной диаграммы» о решении всех уравнений).
Сообразив всё это, я вспомнил, где видел те же формулы еще раз: Пьер Делинь, приезжая в Москву, когда он был ещё женихом дочери Лены моего друга Володи Алексеева, рассказал (переплывая со мной вплавь Десну или Пахру около Дубровиц) о своей теории смешанных структур Ходжа полуалгебраических многообразий. Продумывая его теорию, я просчитал, в качестве примера, чему равны числа Ходжа этой структуры для простейших особых многообразий (называемых сферами Брискорна).
Оказалось, что ответы выражаются через данные задачи довольно сложными формулами – теми же, что у Олейник и Гельфанда, так что я быстро свёл их вычисление к теории многогранников Ньютона (и использовал всё это для решения интересовавшей меня тогда задачи об индексах особых точек голоморфных дифференциальных форм на особых гиперповерхностях).
Продумывая всю эту ситуацию вследствие вопроса Гельфанда, я сообразил, что в работе Олейник было сделано гораздо больше, чем она сказала. А именно, за пару десятков лет до Делиня она изобрела смешанные структуры Ходжа комплексных многообразий, оценила через них числа Бетти вещественных многообразий и вычислила упомянутые смешанные структуры в интересовавших её частных случаях.
Разумеется, определение смешанных структур в самом общем случае в работах Олейник не содержится – оно и не было ей нужно. Она выписала всё, что нужно, в том случае, который был ей нужен для получения оценок чисел Бетти общих гиперповерхностей фиксированных степеней – но получить эти оценки она смогла только благодаря найденным ею свойствам её смешанных структур.