6. В конце восьмидесятых годов мне стало ясно, что надо сосредоточить усилия для работы в зарождающейся финансовой математике, которая становилась актуальной для расчетов математических и экономических характеристик финансовых инструментов, определения структуры хеджирующих стратегий. Весьма замечательно, что одно из важных для финансовой математики экономическое понятие «арбитраж» допускает чисто мартингальную интерпретацию. Именно это и объясняет, почему «мартингалисты» стали успешно работать в финансовой математике.
Сейчас, пожалуй, финансовая математика является одной из самых известных областей применения теории вероятностей и математической статистики. Объясняется это тем, что финансовая математика сформулировала, во-первых, много новых вероятностных задач, а во-вторых, огромное статистическое финансовое «сырье» потребовало разработки новых приемов его анализа. В семидесятых годах оперировали данными, идущими через большой временной интервал – год, квартал, месяц, неделя, и здесь основными статистическими моделями были линейные модели авторегрессии и скользящего среднего. В восьмидесятых, когда данные появлялись чаще, появились так называемые ARCH и GARCH нелинейные модели, позволившие объяснить такие, например, эффекты, как «кластерность», заключающаяся в том, что движение цен идет «пачками» – подряд несколько больших значений, затем подряд несколько малых значений и т.д.
В девяностых годах, особенно с развитием компьютерной техники, анализ данных стал почти непрерывным, что потребовало развитие статистики тех случайных процессов, у которых присутствуют как непрерывные, так и скачкообразные составляющие. Многие такие модели в качестве «ведущих» рассматривают подобные процессы как броуновское движение, фрактальное броуновское движение, процессы Леви и т.д.
На нашем спецсеминаре студенты и аспиранты успешно работают с моделями, основанными на этих процессах. Интересно отметить, что наши результаты по наискорейшему обнаружению «разладок» оказались весьма востребованными в финансовой математике, например, в связи с проблемой скорейшего обнаружения момента появления «арбитража».
7. Несколько ответов на вопросы интервью. В аспирантуре я не был, став сразу после окончания МГУ сотрудником МИАНа, где и сейчас работаю в должности главного научного сотрудника. Кандидатскую диссертацию защитил в 1961-м году как соискатель. Оппонентами были Р.Л. Добрушин и А.М. Яглом. Защита проходила в ИПМ (в то время было правило защищаться не в своем институте). Защищалось нас трое – В. Арнольд,
А. Кириллов и я. Совместный банкет мы организовали в ресторане гостиницы «Юность», что у метро «Спортивная». Докторскую диссертацию «Исследования по статистическому последовательному анализу» я защищал в 1967 году в МИАНе. Оппонентами были А.Н. Колмогоров, А.В. Скороход и И.А. Ибрагимов.
Хотя я и был сотрудником МИАНа, Андрей Николаевич довольно-таки рано привлек меня для ведения спецсеминаров, чтения спецкурсов, и, затем, основного курса «Теория вероятностей». Лекции специальных курсов были изданы на мехмате («Дополнительные главы теории вероятностей» и «Вероятность, статистика, случайные процессы»). Из лекций по основному вероятностному курсу – часто этот курс состоял из трех частей и читался подряд три семестра – в 1980-м году был издан наш учебник «Вероятность», переведенный на английский, немецкий и китайский языки. Четвертое издание «Вероятности» в двух книгах вышло в 2007-м году. А в 2006-м году были изданы «Задачи по теории вероятностей». В этой книге содержится примерно полторы тысячи задач, которые не являются просто упражнениями – это, в основном, задачи средней и повышенной трудности.
8. В 1994-98 годах я был президентом Актуарного общества России. Выборное собрание проходило под председательством В.А.Садовничего в Клубе МГУ. На пост президента были выдвинуты две кандидатуры – Медведев П. и я. Голосование было действительно демократичным – 51 голос за меня и 49 голосов за Медведева. Основной нашей задачей мы видели создание актуарной специальности, со сдачей экзаменов по специальной программе, которая была составлена, с выдачей соответствующего сертификата о присуждении звания «актуарий». К сожалению, многолетние старания успехом не увенчались – в основном потому, что такие организации, как Росстрахнадзор, категорически воспрепятствовали нашей инициативе.
На нашей кафедре теории вероятностей есть актуарно-финансовая специальность. Мы набираем порядка 40-50 студентов, которые составляют две группы – вероятностная и актуарно-финансовая. Создание этой специальности происходило таким образом. Я как-то пришел к Б.В.Гнеденко и сказал ему, что в связи с современными веяниями надо «массовое обслуживание» конвертировать в «актуарное». «А что такое актуарий?» – спросил он. Я прямо на листочке написал, что по современным воззрениям «актуарий – это эксперт в математике страхования; актуарий делает математические вычисления, связанные с вероятностями длительности человеческой жизни, дающими основу расчета контрактов страхования жизни, годовой ренты и т.д.» Особенно Борису Владимировичу понравились слова «страховой бизнес – это социальный механизм компенсации экономических потерь». Это было начало создания актуарной специализации на кафедре. А финансовая математика стала преподаваться на кафедре после того, как я прочитал курс «Основы стохастической финансовой математики». Этот курс лег в основу двухтомной монографии с тем же названием, которую я написал в 1995-97 годах всего лишь за два года. (Её русское издание содержит 1017 страниц, английское – 834 страницы; это английское издание издательства World Scientific, вышедшее в 1999 году, затем четырежды допечатывалось и переведено на китайский язык).
9. На вопрос о том, занимался ли я общественной деятельностью в студенческую пору, ответ простой – в разных организациях (комсомольских, профсоюзных) я обычно отвечал за спорт. Когда же стал работать в МИАНе, то много занимался организацией советско-японских симпозиумов (первый был в Хабаровске в 1969-м году), подготовкой и организацией Первого Всемирного конгресса общества Бернулли по теории вероятностей и математической статистике в Ташкенте в 1986-м году. Члены Совета общества Бернулли, оценив мою деятельность по организации этого Конгресса, избрали меня Президентом общества (1989-91 года).
В 1998-99 годах я был избран Президентом общества Башелье по финансовой математике – это явилось знаком признания наших (моих и моих учеников) работ по стохастической финансовой математике.
10. Хочется еще рассказать о нашей деятельности по увековечиванию памяти Андрея Николаевича Колмогорова.
Прежде всего, в доме Колмогорова и Александрова в Комаровке нашими усилиями создан мемориал их памяти.
Далее, в 2003 году была проведена международная конференция «Колмогоров и современная математика», на организацию которой у меня ушло полтора года. В конференции приняли участие более 1000 человек. К этой конференции были выпущены три тома юбилейного издания «Колмогоров».
Первый том «Истина – благо. Библиография» зародился у нас с Н.Г.Химченко в результате долгих размышлений: что издать к 100-летию? В этот том вошла моя статья «Жизнь и творчество», статья Наталии Григорьевны «Материалы к биографии», «Библиография», содержащая основные математические работы Андрея Николаевича, статьи в энциклопедических изданиях, работы по педагогике и др. Всем участникам Конгресса этот том вручался бесплатно – 1000 книг этого тома были дополнительно напечатаны на благотворительные средства, которые предложил мой ученик недавних лет, кандидат физико-математических наук, теперь генеральный директор серьезной компании А.А.Антонян.
Во второй том издания «Колмогоров» вошла переписка А.Н. Колмогорова и П.С. Александрова. Том называется «Этих строк бегущая тесьма…»
В третий том «Звуков сердца тихое эхо» вошли дневниковые записи Андрея Николаевича, которые он активно вел в 1943-45 годах.
Интересно отметить, что все три названия – «Истина – благо», «Этих строк бегущая тесьма…» и «Звуков сердца тихое эхо» – были взяты из одного листочка, написанного Андреем Николаевичем от руки.
Подготовка этого издания была бы просто невозможна без самоотверженной работы Н.Г.Химченко. Большую помощь, особенно с Библиографией, нам оказала Татьяна Борисовна Толозова – чуть ли не каждую статью или книгу Колмогорова она отыскала и все выверила.
Хочется также назвать еще две книги, где я был редактором-составителем. Первая – «Колмогоров в воспоминаниях» (1993 год). Вторая – «Колмогоров в воспоминаниях учеников» (2006 год).
В своей рецензии в журнале «Знамя», 2007 год, № 3, на эту последнюю книгу её автор, Леонид Костюков, писал: «Эмоциональное впечатление от книги огромное. Читатель не просто принимает к сведению, что вот, был такой великий математик Колмогоров (с этим у него не было причин спорить и до чтения книги), а получает возможность, пусть и косвенно, но ощутить присутствие живого гения (к сожалению, это слово я не могу разбавить синонимами, и в настоящей рецензии вы встретите его еще не раз). Различие – как между непосредственным мистическим опытом и его религиозно-мистическим оформлением».
В 2005-07 годах вышли четыре тома избранных трудов А.Н. Колмогорова. В первом, втором , третьем и четвёртом томах редакторами-составителями были В.М. Тихомиров (1 том) и я (2 , 3 и 4 тома). Четвертый том, «Математика и математики», был издан в двух книгах – «О математике» и «О математиках». Мне, как редактору-составителю, в этом издании помогали Н.Г.Химченко и Т.Б.Толозова. Сейчас мы занимаемся подготовкой пятого и шестого (заключительного) томов с условным названием «Критическое слово» (отзывы, рецензии) и «Педагогическое наследие». Этот последний том мы готовим вместе с А.Н. Абрамовым.