И. Р. Шафаревич (стр. 9 из 40)

Переписывали мы эту статью с Кирилловым семь раз – и каждый из нас критиковал часть другого, и Дынкин громил обоих. В конце концов, возник текст, удовлетворявший всех троих. Мне было поручено перепечатать его и отнести в редакцию (в те годы я уже подрабатывал в редакции ДАН СССР как «формулист» - вставлял формулы в перепечатанные тексты). Но я, вернувшись домой, случайно взял на книжной полке отцовской библиотеки старинную книгу в толстом кожаном переплете – «Analis» Коши (кажется, даже «Алгебраический анализ») – это была та самая книга, где Коши впервые навел бурбакистскую строгость ε-δ определений, изгоняя очевидные Ньютону понятия его анализа «предел при n → ∞» или «предел при x → 0». Открыв этот томик на случайной странице, я обнаружил там свою теорему: Коши выражал число нулей комплексного многочлена в области через индекс заданного многочленом векторного поля вдоль границы этой области, а из его формулы вывести наши результаты было уже нетрудно.

Так наша с Кирилловым первая научная работа и осталась неопубликованной.

Все же, эта ситуация не столь плоха, как история, происшедшая с читавшим Коши Абелем. Молодой человек, приехав в Париж, прочёл первую «строгую теорему», доказанную в курсе Коши: «если на отрезке [0, 1] последовательность непрерывных функций сходится в каждой точке, то и предельная функция тоже непрерывна на этом отрезке». Абель, занимаясь степенными рядами, хорошо знал, что xⁿ при n → ∞ стремится к 0 при 0 ≤ x <1, но cтремится к 1 при x = 1. Он сообщил об этом Коши.

В то же время Академия Наук отправила Коши на отзыв статью Абеля, где он доказывал невозможность решить в радикалах общее уравнение степени 5 (например, уравнение x⁵ + ax = 1).

Коши умер через много лет, так и не дав на работу Абеля никакого отзыва. Она оставалась неизвестной несколько десятков лет, и когда Абель давно уже умер, Лиувилль обнаружил его мемуары в бумагах, оставшихся после Коши (рядом с мемуарами Галуа, которого постигла похожая участь, хотя он ошибок Коши и не указывал). В результате такого поведения Коши развитие и теории групп, и теории уравнений, и алгебраической геометрии, и даже теории чисел отстало лет на сорок (от того, что было бы, если бы релятивистские идеи Абеля о нормальных делителях стали сразу известными).

Так обстояло дело с анализом и с алгеброй для меня – первокурсника.

Что же касается аналитической геометрии, то здесь положение было иным: я перестал ходить на лекции Александрова, как только увидел, что он вовсе ничего не понимает в своей науке (путает аксиомы с теоремами и доказательства с определениями).

Вот типичный пример: что такое «геометрия Лобачевского»? Не стану повторять ошибочных её описаний, скажу только (обычно скрываемую) правду.

Лобачевский сформулировал гипотезу : постулат Евклида, что «через точку вне данной прямой на плоскости проходит одна и только одна прямая, не пересекающая данную прямую» независим от остальных (то есть не может быть из них выведен). Он пытался доказать эту гипотезу от противного в течение нескольких десятилетий. Для этого он пытался вывести из существования больше одной не пересекающей данную прямой противоречие, а для этого выводил из такого существования всё новые и новые следствия. Если бы какое-нибудь из этих следствий оказалось бы неверным, независимость была бы опровергнута. Однако работа Лобачевского к таким неверным следствиям его все не приводила. Он сделал вывод, что все эти следствия составляют новую геометрию, где постулат Евклида не выполняется, а противоречий нет.

Никакой теоремой этот вывод не был: это просто гипотеза. Лобачевский всегда понимал, что он её не доказал. Восхвалители Лобачевского восторженно говорят, что он свою геометрию построил. Но точный смысл этих слов – только то, что его попытки опровергнуть её не удались ему. Замечательно, однако, то, что гипотеза Лобачевского на самом деле верна. Это доказали (уже после него) несколько математиков

Мне больше всего нравится доказательство, данное Артуром Кэли (недооцененным, на мой взгляд, английским математиком XIX века). Кэли предлагает следующую модель геометрии Лобачевского (обычно называемую «Модель Клейна», подобно тому, как Америка не носит имени Колумба):

Рассмотрим в качестве «плоскости Лобачевского» открытый круг на Евклидовой плоскости и назовем «прямыми Лобачевского» все его хорды. Легко проверить, что все обычные аксиомы («через две разные точки P и Q проходит одна и только одна прямая» и т.д.) выполнены, но через точку А вне прямой а проходит много прямых, не пересекающих прямой а.

Если бы предположенное Лобачевским нарушение аксиомы параллельных Евклида противоречило остальным аксиомам геометрии Евклида, то противоречивой оказалась бы уже представляющая её модель: обычная геометрия Евклида (хорд круга).

Ни в одном учебнике геометрии этого рассуждения нет – и я быстро понял, что Александров ни геометрии Лобачевского, ни проективной геометрии (о которой Кэли говорил, что «она – вся геометрия») просто не знал. Даже тот факт, что дополнение к точке на вещественной проективной плоскости есть лист Мёбиуса (каковой потому этот лист и открыл) был для Александрова «трудным примером абстрактной общей теории».

Векторное произведение тоже выходило за рамки его понимания. Даже тождество Якоби для него в курсе Александрова отсутствовало.

Взамен я читал на первом курсе увлекательный учебник Делоне и Райкова.

Борис Николаевич Делоне, альпинистский друг моего отца, еще до университета немало разговаривал со мной о математике – больше всего о квадратичных формах и решётках, цепных дробях и диофантовых приближениях.

Я тогда не стал всерьез этим заниматься, но после 1980 года вернулся к этим темам и использовал многие его советы в десятках своих статей о цепных дробях, их статистиках, палиндромах, многомерных обобщениях и связях с классификацией коммутативных градуированных алгебр Ли.

Из работ первого курса об этом я помню такую. Рассмотрим в n-мерном пространстве Лобачевского «спираль» постоянной геодезической кривизны k₁, постоянного «геодезического кручения» k₂ и т.д. (до «кручения» k_n-1, измеряющего отклонение кривой от проективной плоскости размерности n - 1). «Как они выглядят?» - спросил я себя.

Если, например, n = 2, то кривые постоянной геодезической кривизны k (на плоскости Лобачевского) оказываются окружностями при k > 1 и эквидистантами (равноудаленными везде от единой прямой) при k < 1:

А как обстоит дело в больших размерностях ?

Оказывается, ответ зависит от величины некоторой цепной дроби (элементы которой просто выражаются через кручения (k₁,…, k_n-1)). А именно, если значение этой дроби больше 1, то кривая ограничена, а замыкание кривой компактно (и является тором некоторой размерности, чаще всего равной n - 1). Если же значение цепной дроби меньше 1, то кривая не ограниченна (а именно, равномерно движущаяся по ней точка уходит в бесконечность, как для эквидистанты).

Как это ни удивительно, я до сих пор нигде не видел опубликованного доказательства ни этой теоремы, ни других моих открытий того времени из аналитической и проективной геометрии.

Вот пример моего результата пятидесятых годов, который я опубликовал только недавно: три высоты треугольника Лобачевского пересекаются в одной точке.

Эта теорема является просто тождеством Якоби

[[a, b], c] + [[b, c], a] + [[c, a], b] = 0

в алгебре Ли квадратичных форм [1]

Ep² + Fpq + Gq²

на симплекстической плоскости R² (с формой ω = dpΛdq).

Интересно, что к этой теореме имеются и контрпримеры, очень тупоугольные треугольники, один из углов которых больше 120 градусов:

эти три высоты в геометрии Лобачевского общей точки не имеют.

Оказывается, в таких случаях точка пересечения высот, все же, есть, только она не принадлежит плоскости Лобачевского, а лежит в релятивистском «мире де Ситтера».

Мир де Ситтера получается из модели Кэли плоскости Лобачевского так: круг модели Кэли надо считать частью своей проективной плоскости. Лист Мёбиуса, дополняющий круг до этой проективной плоскости (грубо говоря, это дополнение к кругу геометрии Лобачевского на плоскости, содержащей этот круг) и есть двухмерный мир де Ситтера.

Теорема о пересечении высот верна для треугольников с вершинами внутри или

вне плоскости Лобачевского всё равно, – только эти точки пересечения тоже могут оказаться где угодно. В описании при помощи квадратичных форм точки плоскости Лобачевского – это знакоопределённые квадратичные формы (рассматриваемые с точностью до скалярного множителя), а точки мира де Ситтера – гиперболические. Причём точки s мира де Ситтера можно рассматривать как прямые uv плоскости Лобачевского, а точки плоскости Лобачевского – как прямые мира де Ситтера (чтобы понять это, полезно нарисовать соответствующую точке Λ прямую λ в мире де Ситтера).